多元函数微积分学(2)

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1、第七章多元函数微积分学教学内容（含时间安排）板书或旁注第七章多元函数微分法及应用第一节多元函数的基本概念（1课时）要求：掌握二元函数及其定义域的概念，会用平面图形表示定义域，知道二元函数的几何意义。了解二元函数的极限余连续的概念，并且知道它与一元函数的差别。重点：二元函数极限的概念，它与一元函数的差别。难点：二元函数极限的定义与计算。在现实中，许多客观现象或过程的发生和发展都是受多种因素制约的，在数学上表现为一个变量依赖于多个变量的问题，涉及多个变量的函数称为多元函数．本章多元函数微分学及应用，我们主要针对二元函数展开讨论，这不仅因为有关的

2、概念和方法有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然地推广到二元以上的多元函数．讨论一元函数时，常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，首先把邻域和区间概念加以推广称邻域和区域．一．区域1．邻域定义1设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为．即几何解释：是平面上以点为中心，为半径圆的内部点的全体．去心邻域：点的去心邻域2．区域设是平面上的一点集，是平面上的一点．内点：如果存在点的某一邻域，使得，则称为的内点．开集：如果点集的点都是内点，则称为开集．如是开集边界点：如果点的任一邻域内既有属

3、于的点，也有不属于的点，则称为的边界点．边界：的边界点的全体称为的边界．-9-第七章多元函数微积分学如的边界是和二．二元函数概念以前所研究的函数都依赖于一个自变量，即一元函数，但在许多自然现象和实际问题中所遇到的函数关系，常依赖于两个或两个以上自变量．下面举几例子．例1.圆柱体的体积和它的底半径，高之间有关系式这里，当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定．1．二元函数定义定义2设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数(或点的点函数)，记为，(或)其中称为自变量，称因变量，称该函数的

4、定义域．数集称该函数的值域．2．二元函数定义域求法二元函数定义域与一元函数的定义域求法相类似．（1）用算式表达的二元函数，那么使这个算式表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域；（2）当函数的自变量具有某种实际意义时，应根据实际意义确定其定义域．如：在例1中，．例3．求二元函数的定义域．解要使对数有意义，必须．所以满足的点的全体在几何上如何画出:（1）先找边界，（2）再以点示面，确定位置．函数的定义域是无界开区域．-9-第七章多元函数微积分学例4．求函数的定义域．解定义域，所以是有界闭区域．例5．求函数的定义域．解定义域，所以无界开

5、区域．例6．求函数定义域，并计算．解定义域，所以，不连通，则不是区域．．三．二元函数的极限定义3设函数在开区域(或闭区域)内有定义，是的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数为函数当，时的极限，记作或，．二元函数极限称做二重极限．注意（1）动点时，函数，此时可以说函数都趋于．-9-第七章多元函数微积分学这里说的当时，函数是指以任何方式趋于时，函数都趋于，因为平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数当时，要比一元函数中当复杂的多．（2）动点时，函数，此时不能断定函数的极限存在．如

6、果以某一特殊方式趋于时，即使函数无限接近于某一确定的值，我们还不能由此断定函数的极限存在．（3）动点时，函数不同值，此时可以断定函数的极限不存在．如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在．例9．函数．解当点沿轴趋于点时，，当点沿轴趋于点时，，虽然点以上述两种特殊方式趋于原点时函数极限存在并相等，但当点沿直线趋于点时，有，它随值的不同而改变，所以上述函数在点极限不存在．注意：该题也可以令，则，随着的变化，方向是变化的，则取得不同的值．四、多元函数的连续性1．连续函数概念定义4设函数在区域内有定义，且，若-9-

7、第七章多元函数微积分学则称函数在点处连续．若令，，则当时，，因此有连续的另一种形式的定义．定义设函数在区域内有定义，且，若，则称函数在点处连续．定义设点函数的定义域为，且，若则称函数在点处连续．例如：函数在点没极限，故不连续，所以点为函数的间断点，此点为函数的孤立点．再如，函数在圆周上没定义，所以圆周上各点都是函数的间断点．第二节偏导数（1课时）要求：掌握二元函数偏导数的概念并了解其几何意义。熟练地求出多元函数的一，二阶偏导数。重点：二元（三元）函数偏导数的计算。难点：求分段函数分段偏导数，函数的连续，偏导数存间关系。1．偏导数定义定义：设

8、函数在点的某一邻域内有定义，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有偏增量若增量比的极限-9-第七章多元函数微积分学存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数．记为，，，．类似地，函