专题三函数与导数大题的解法

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1、专题五：函数与导数大题的解法高考数学第二轮复习讲义专题三:函数与导数大题的解法一、考点聚焦：考点1：函数的概念、表示法、定义域、值域、最值；考点2：函数的单调性、奇偶性、周期性；考点3：指数函数和对数函数的定义、性质(尤其是单调性)、图象和应用；考点4：反函数的定义、求反函数、互为反函数图象的位置关系；考点5：抽象函数问题的求解；考点6：运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题考点7：导数的概念及运算，导数的应用(求曲线的切线、函数的单调性问题、最值与极值)二、导数大题题型及基本解题思路：1、简单函数与复合函

2、数的求导，必须按照求导公式、法则。2、求函数表示的曲线上切点与切线方程的步骤：(1)求导数。(2)把切点坐标代入求出切线斜率。(3)用点斜式写出切线方程。注意：对于过一点作曲线的切线类型，要注意该点是否为切点。3、可导函数求单调区间或判断单调性的方法：(1)求导数(2)求方程的根(3)在定义区间内划分几个区间。检验在各区间内的符号使的区间为增区间，使的区间为减区间。注意：(1)在求单调区间的解题过程中，为避免求区间错误，可由求增区间，由求减区间。(2)在导数内容中，在定义域允许的情况下，单调区间可是闭区间也可是开区间。

3、4、已知单调区间求参数的范围：(1)根据题意，若在某区间内单调递增，则转化为不等式恒成立求解，若在某区间内单调递减，则转化为不等式恒成立问题求解。(2)根据不等式的特点，若参数与变量能分离，则转化为求函数的最值求解，即或，则或，注意若在给定区间是单调函数，则运用单调求最值，若在给定区间不是单调函数，则运用导数知识求的最值。若参数与变量不方便分离，则构造函数，运用数形结合求解。5、应用导数证明不等式成立问题：根据题意先构造一个函数，然后按照函数的单调性处理。此类题构造的函数一般是在给定区间是单调的。6、可导函数求极值的步

4、骤：(1)求导数。13专题五：函数与导数大题的解法高考数学第二轮复习讲义(2)求方程的根(3)检验在方程的根的附近左右值的符号，若左正右负，则在这个根处取极大值，若左负右正，则在这个根处取极小值。注意：(1)知函数的某一点的极值类型，要注意其包含的双重意义。即。(2)与极值有关的问题最好能列表处理。7、连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值，在闭区间上连续，在内可导，则求最大值、最小值的步骤为：(1)求导数。(2)求方程的根(3)结合在上的根及闭区间的端点数值，列出表格若()…正负号0正负号00正负号值单调性值单调性值

5、值单调性值(4)根据上述表格的单调性及值的大小，确定最大值与最小值。三、例题讲练：（一）函数大题：例1、已知函数，(1)当时，求函数的最小值。(2)若对任意恒成立，试求实数的取值范围。解：(1)当时，，由于当时，单调递增，所以当时，函数的最小值是。(2)由对任意恒成立，则当时，恒成立，所以在内恒成立，所以。例2、已知二次函数和一次函数，其中满足13专题五：函数与导数大题的解法高考数学第二轮复习讲义(1)求证：两函数的图象交于不同的两点；(2)求线段在轴上的射影的长的取值范围。解：(1)由两函数的解析式联立方程组消元得：

6、，则，所以两函数的图象交于不同的两点。(2)设，则，因为，所以，所以。例3、(05上海)已知函数的图象与轴分别相交于点，(分别是与轴正半轴同方向的单位向量)，函数.(1)求的值；(2)当满足时，求函数的最小值。解：(1)由题意知：，所以由得。(2)由(1)知，因为，所以，则例4、(06重庆)已知定义域为的函数是奇函数。(1)求的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。解：(1)因为是奇函数，所以，即，从而有。又(2)由(1)知，由上式易知在上为减函数。又因13专题五：函数与导数大题的解法高考数学第二轮复习讲义

7、为奇函数，从而不等式等价于因为奇函数，由上式推得即对一切有，从而有。（二）导数大题：例5、(1)已知函数在R上是减函数，求实数的取值范围。（2）若函数在区间内为减函数，在区间内为增函数，试求实数的取值范围。（3）(08全国Ⅰ)已知函数，．(I)讨论函数的单调区间；(II)设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：(I)求导：当时，，，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增(II)由函数在区间内是减函数，则。（4）已知在时取得极值，且.(I)试求常数的值；(II)试判断是函数的极小值还是极大值点，并说明理由。解：(I

8、)因为的两根为，所以，所以，由得，13专题五：函数与导数大题的解法高考数学第二轮复习讲义所以。(II)由(I)知，则，当时，，当时，，所以是极大值点，是极小值点。例6、已知函数，（I）若是方程的一个根，在上是增函数，求证：。（II）设图象上任意不同两点的连线的斜率为，若，求的取值范围。例7（1）已知函数，（I）求曲线在点处的切线方