高考数学总复习定积分与微积分基本定理

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1、高考数学总复习：定积分与微积分基本定理知识网络　　　　　　　　　　　　　　　　目标认知考试大纲要求：　　了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。重点：　　正确计算定积分，利用定积分求面积。难点：　　正确计算定积分，利用定积分求面积。知识要点梳理知识点一：定积分的概念　　定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限

2、，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.　　说明：　　（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；　　（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.知识点二：定积分的性质　　（1）（为常数），　　（2），　　（3）（其中），　　（4）利用函数的奇偶性求积分：　　若函数在区间上是奇函数，则；　　若函数在区间上是偶函数，则.知识点三：微积分基本定理　　如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.　　一般地，原函数在上的改变量

3、简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.　　说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.知识点四：定积分的几何意义　　设函数在区间上连续.　　在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.　　在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；　　在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的

4、代数和.在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.　　　　　　　　　　　　　　　　知识点五：应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积　　1.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线　　()围成的曲边梯形的面积：；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；　　　　　3.如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4.利用定积分求平面图形面积的步骤：　　（1）画出草图，在直

5、角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；　　（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；　　（3）写出定积分表达式；　　（4）求出平面图形的面积.（二）利用定积分解决物理问题　　①变速直线运动的路程　　　作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积　　　分，即.　　②变力作功　　　物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到　　　，那么变力所作的功.规律方法指导　　1.要正确理解定积分的概念，掌握其几何意义，从而解决实际问题；　　2.要正确计算定积分，

6、需非常熟悉导数的运算。巩固2．(原创题)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)A．f(x)dxB．

7、f(x)dx

8、C．f(x)dx＋f(x)dxD．f(x)dx－f(x)dx解析：选D.由定积分的几何意义知选项D正确．3．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于(　　)A.B.C.D.解析：选A.由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝.4．若等比数列{an}的首项为，且a4＝(1

9、＋2x)dx，则公比等于________．解析：本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解．由已知得a4＝(x＋x2)

10、＝18，故q3＝＝27⇒q＝3.[来源:学科网ZXXK]答案：35.已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.解析：(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)

11、＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝.答案：－1或6．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.

12、(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2－2x＋1.(2)依题意，所求面积为S＝(x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)

13、＝.练习1．已知