解三角形应用举例(2)

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.考查正、余弦定理在解决与角度、方向、距离及测量等问题有关的实际问题中的应用．2.考查方式既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题.[归纳·知识整合]1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线

2、下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m°：(2)南偏西n°：坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tanα坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比[探究]　1.仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示：利用方位角

3、或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．[自测·牛刀小试]1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为(　　)A．α>β　　　　　　　　B．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：选B　根据仰角和俯角的定义可知α＝β.2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D　由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，

4、所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.3.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是(　　)A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：选A　选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似．4．(教材习题改编)海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．解析：由正弦定理，知＝.解得BC

5、＝5海里．答案：55．(教材习题改编)如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35m，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为91m，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为________m.解析：AB＝＝84，tan∠CAB＝＝＝.由＝tan(45°＋∠CAB)＝＝得CD＝169.答案：169测量距离问题[例1]　隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(

6、A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．[自主解答]　如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝()2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝km，所以A，B两目标之间的距离为km.若将本例中A、B两点放到河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的

7、距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，求A、B两点间的距离．解：由正弦定理，得＝，故AB＝＝＝50m.即A、B两点间的距离为50m．　　　　———————————————————求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.1．如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，

8、测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m．求该河段的宽度．解：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.由正弦定理得＝，∴BC＝.如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝，∴BD＝BCsin4