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1、柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分nn丫析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等工af工bj＞工也比=1k=lk=/式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广Z,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二
2、维形式在一般形式中，令斤=2,q=0卫2=—c,b2=d,得二维形式{a2+b~)(c2+J2)>{ac+bd^等号成立条件：ad=bc(a/b=c/d)扩展：(a：+a；+a；+.・+d；)(斤+/??+•••+/?；)»(%优+%3+•••+©/”)〜等号成立条件：a[:b[—a1b2—--—an'当®=0或勺=0时,幺和勺都等于0」不考虑gbj=,2,3,…,n丿二维形式的证明：(/+/?，)(
3、bcd+b2c2=(dc+bd『+(ad-/?c)2>{ac+bd)2等号在且仅在ad-be=0即ad=bcS^成立三角形式Ja1+Jc?+十》J(a-c)2+(b-d『等号成立条件：ad=bc三角形式的证明:Jo2+戻+7c2+f/2=a2+，+c2+d?+2』a2+b?Jc?十d?»/+戻+。2+〃2+2止+则注：
4、
5、表示绝对值n-26/c+c~4-b~-2bd+d~=(g-c)2+(b_d$两边开根号，得J/+/+J。?+沪》J(q_+(b-向量形式
6、a
7、
8、0
9、n
10、a・0
11、,&=（兔卫2，。3…，叮，0=…,N
12、,n>2）等号成立条件：0为零向量，或向量形式的证明：令加=（吗,。2卫3,…，。“），兀=（勺，爲,勺,…也）/.a”]+色优+。3“3+…+a”b”5+a；+a]+…+a；Jb；+b：+b；+…+b;般形式等号成立条件:at:bt=a2:b2=•-=an:bn,或爲、勺均为零。般形式的证明:证明：不等式左边=（a尚+a緝）+•••+…共〃—项不等式右边=仏勺）•（％®）+（勺巧）•仏勺）+…+…共川/2项用均值不等式容易证明，不等式左边》不等式右边，得证。附：柯西（Cauchy）不等式相关证明方法：（a”、+ci
13、yb->HF）_5（a：+a]ha；）〜（b：+b[4（4。g/?,i—1,2•••/?）等号当且仅当ax=a2=•••=6f/z=0或勺=縄时成立（k为常数，i=l,2・・・n）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数f（x）=（a{x+b{）2+（a2x+Z>2）2+•••+（anx4-bn）2=（aj+a；+…+a：）兀~+2（坷勺+ci-,b-）+…+）x+（+b；+…+b：）*.*tZ
14、2+a；h—•+a；no・・・/（兀）no恒成立•・•△=4（再勺+°2“2++_4（a：+空+•••+/；）（斤+〃；
15、+•••+%）WO即（如］+Q2E+…+色仇）25（才+a；+…+4；）（bj+b；+・••+"）当且仅当^.x+/?.x=O（z=1,2---77）即鱼=《=・・・=%时等号成立bb2bn证明2:数学归纳法（1）当斤=1时左式=（%）~右式二（砒］）~显然左式二右式当H=2时，右式=（才+空）（舁+对）=（如
16、）~+（002）-+G折+彳对222n（Q#］）+（必2）+2弘少”2=（a”?+a2b2）=右式仅当即a°b=呛即鱼=玉时等号成立'_Sb2故77=1,2时不等式成立（2）假设n=kgN,k2）时，不
17、等式成立即（。］勺+a^br+…+a少）5（aj+a］+•••+/）（b「+b；+•••+/?；）当bt—kai,k为常数,Z=或=ei2=■■■=ak-0时等号成立设A=a；=a；=…=a：B=b；=b；=…=bjC=a{b}+a2b2HFakbk则（A+心）（B+仍J=AB+A殆+此氐nC?+2CaMbM+a；点u=（C+aMbM）2.•.（a：+a；+…+a；+Q；+J0；+b；+…十b：+b；+J2n（afy++…+色勺+昭仅+J当―kcij,k为常数，i=l,2…”或=a2=•••=ak=0时等号成立即n=
18、k+1时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式222,9例1、设a、b、C为正数且互不相等。求证：i>4e+e+?+e证明：将a+b+c移到不等式的左边，化成：+（底I+（任H値+HHC+U+祈I吕+出1(Vff+i?)2+(VF+7)2+(V^+c)2=(i+i+n2=9又・・・g、b、c互不相等，所
