【硕士论文】Banach空间中随机非线性算子的研究.pdf

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1、摘要摘要随机非线性算子理论是目前正在迅速发展的随机非线性泛函分析理论的重要组成部分，它与近代数学的许多分支有着紧密的联系，特别是在建立各类随机方程解的存在唯一性问题中起着重要的作用.本文主要用随机拓扑度和随机不动点指数方法以及半序和迭代方法研究Banach空间中随机非线性算子的随机不动点和随机算子方程.全文分为三章.第一章介绍了非线性算子随机不动点理论的历史背景、现状以及研究Banach空间中非线性算子的随机不动点需要的相关知识.第二章在实可分Banach空间中利用随机拓扑度和随机不动点指数方法，讨论了随机半闭1一集压缩算子、随机定点1一集压缩

2、算子和随机算子方程A(w,x)-Ax(u二1)，在不同边界条件下随机不动点或随机解的存在情况，得到了几个新的结论，同时推广了一系列重要定理.第三章在由锥导出的半序空间中，利用半序和迭代方法，首先，研究了两点拉伸型随机混合单调算子、随机非混合单调算子随机不动点的存在性、唯一性以及迭代序列的收敛性.其次，讨论了随机非线性算子对的随机公共不动点问题.最后，在由泛函导出的半序空间中探讨随机单调及混合单调算子随机不动点的唯一性情况.关键词:随机不动点指数:随机不动点:正规锥:半序:迭代第I章引言第1章引言随机不动点理论是目前正在迅速发展的随机非线性泛函分

3、析理论的重要组成部分，它与近代数学的许多分支有着紧密的联系.特别是在建立各类随机方程(其中包括各类随机线性或随机非线性方程，确定或非确定的随机微分方程，随机积分方程以及各类随机算子方程)解的存在唯一性问题中起着重要的作用.研究随机非线性算子的随机不动点方法很多，特别值得注意的是其中的随机拓扑度和随机不动点指数方法以及单调迭代和半序方法.本章主要介绍随机算子方程和随机不动点理论的历史背景、现状以及相关的预备知识.1.1历史背景与现状随机算子方程和随机不动点理论的研究始于二十世纪五十年代，以Hans"和Spa`cek为首的捷克布拉格学派对随机不动点

4、理论作了开创性的工作.由于Banach压缩映照原理、Schauder不动点定理和Krasnoselskii不动点定理在确定算子方程中的重要作用，因此，他们最早的工作就是把这些定理随机化，并把所得结果应用于线性和非线性积分方程解的研究.在国内，王梓坤首先接触到该领域，张石生、丁协平、李国祯、朱传喜等都取得了丰富而有意义的研究成果.众所周知，在实Banach空间上，非线性算子的Leray-Schauder拓扑度和不动点指数理论是研究非线性算子方程定性理论的基本方法之一为此，李国祯于1}993年和1996年分别提出了随机拓扑度和随机不动点指数概念，为

5、研究随机非线性算子的随机不动点定理提供一种基本方法.利用随机拓扑度和随机不动点指数理论，朱传喜推广了许多著名的定理，如:Rothe定理，Petryshyn定理，Altman定理以及Leggett-Williams定理等.在介绍利用单调迭代技巧和半序方法证明随机不动点存在唯一性之前，先介绍一下半序方法在非线性分析中的应用.自二十世纪八十年代初以来，郭大钧和他的学生孙经先，杜一宏等利用半序方法来研究缺乏紧性或缺乏连续性条件的非线性问题，并获得一系列新的结果，主要有:(一)在完全不考虑紧性的第1章引言条件下，仅使用有关序的某种不等式，获得了增算子，减

6、算子以及混合单调算子的不动点的存在唯一性以及迭代序列的收敛性，并应用于无界区域上的非线性积分方程.(二)在完全不考虑连续性的条件下，仅使用弱紧性条件，获得了增算子的若干新的不动点定理，并应用于右端有间断项的非线性微分方程.(三)将半序方法系统地应用于Banach空间非线性积分一微分方程(包括脉冲型方程).另外，李福义、张志涛、梁展东、赵增勤、李国祯、许绍元等都对各种类型单调算子的不动点存在性、唯一性以及迭代序列的收敛性问题做了较为深入的研究.近几年，李国祯和他的学生段华贵等在实可分Banach空间中引入随机单调算子和随机混合单调算子的概念，利用

7、锥理论和单调迭代技巧证明了不动点的存在性和唯一性，利用极限定理和可测函数的复合定理证明了函数的随机性.并将结果应用于随机Hai口口erstein积分方程的求解中.这为随机不动点理论的发展开辟了一块新天地.2预备知识设(Q,E,U)表示一完全概率测度空间，即:Q是一非空抽象集合，其元素m称为基本事件:E是Q的某些子集所成之。一代数;P是B上的一个概率测度.设x和Y均表示Banach空间，B(X-n为由X到Y的有界线性算子的全体所成的Banach空间，B(X)为由X到X的有界线性算子的全体所成的Banach空间.设声表X中开子集所产生的Borel-

8、o一代数，详尹)为可测空间:x回:Q-X称为可测向量函数随机变量)，如果对任意BE,8,x一’(B)-{wEQ卜(m)EB)EE.a表示非紧性测度，"