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1、点集拓扑学教案为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版,北京:高等教育出版社,2003)第一至七章编写的教案。本科生授课64学时，教学内容与进度安排如下：章节本科生授课主要内容课时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论21.1集合、映射与关系11.2无限集1二拓扑空间与连续映射21习题课时22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射32.3邻域与邻域系2不讲定理2.3.32.4导集、闭集、闭包内部、边界3不讲例2.4.4,定理2.4.82.5内部、边界22.6基与子基2部分证明定理2.6.3，临域基及相关
2、内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列2三子空间、有限积空间、商空间6习题课时13.1子空间23.2积空间23.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性8习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支14.4局部连通空间24.5道路连通空间1道路连通分支不讲五有关可数性的公理6习题课时15.1第一与第二可数性公理2525.2可分空间1.5定理5.2.1不讲5.3Lindeloff空间1.5六分离性公理8习题课时1.56.1、Hausdorff空间26.2正则、正规、空间1.5例6.2.2讲部分6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理1不讲定理6.3.1,
3、6.3.4的证明6.4完全正则空间,Tychonoff空间16.5分离性公理与子空间、积空间和商空间16.6可度量化空间1定理6.6.1讲部分七紧致性10习题课时17.1紧致性3定理7.1.6讲部分7.2紧致性与分离性公理1引理7.3.2用分析中的结论7.3n维欧氏空间中的紧致子集0.57.4几种紧致性以及其间的关系1.57.5度量空间中的紧致性17.6局部紧致空间,仿紧致空间1定理7.6.8不讲52第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-setTopology)现称一般拓扑学(GeneralTopology),它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识,所需的只是一些
4、朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容,主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材,讲义对各部分内容均有较系统的论述,作为授课,我们只强调一些基本内容,而对已有过了解的知识不提或少提.记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集,正整数集,实数集和有理数集.教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理一.集合的运算幂集P,交∩、并∪、差－(补,余).运算律:DeMorgan律:(1).(2)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并,如记Ai.规定0个集之并是,不用
5、0个集之交.二.关系R是集合的一个关系,即记为,称x与y是R相关的.R称为自反的,若,xRx;R称为对称的,若xRy,则yRx;R称为传递的,若xRy,yRz,则xRz.等价关系:自反、对称、传递的关系.如,Δ(X)={(x,x)
6、xX},恒同关系,它是等价关系;，小于关系,它是传递的,但不是对称的、不是自反的.设R是X上等价关系,",x的R等价类或等价类或[x]为,的元称为的代表元;商集.定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系,则52(1)";(2)，或者[x]R=[y]R,或者证(2).设,则,于是且,于是.三.映射函数：.像：；原像：满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射
7、、常值映射、恒同映射、限制、扩张、内射集合,笛卡儿积到第个坐标集的投射定义为,其中.对等价关系集合到商集的自然投射定义为.四.集族数列,有标集族,指标集Γ,与不同,可记有标集族A;类似地,定义其并(或∪A)、交(或∩A),不定义0个集的交.与有限集族有相同的运算律,如DeMorgan律,映射对应的集族性质:,五.无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(或与某{1,2,…,n}有一一映射),无限集,可数集(或存在到Z+的单射),不可数集.易验证:有限集是可数集,可数集的子集是可数集,可数集的映像是可数集.定理1.7.3是可数集是Z+的映像.52由此,Q是可数集,两可数集
8、的笛卡儿积集是可数集,可数个可数集之并集是可数集.定理1.7.8R是不可数集.利用Cantor对角线法证明开区间(0,1)中的实数不可数.直观上,集合A中元素的个数称为该集合的基数,记为cardA,或
9、A
10、.
11、Z+
12、=,
13、R
14、=.若存在从集合A到集合B的单射,则定义
15、A
16、≤
17、B
18、.连续统假设:不存在基数,使得À.选择公理:若A是由非空集构成的集族,则"A,可取定.由选择公理可证明,若是基数,则下述三式中有且仅有一成立:52第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础,从度
