冰山运输问题的微积分解法

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第29卷第2期J西南民族学院学报’自然学版A2003oumalofSouthwestUniversityforNationalities-NaturalScienceEdition文章编号：1003．2843(2003)02．0140．06冰山运输问题的微积分解法朱培勇，王峰，哈英达(西南民族学院计算机科学与技术学院，成都610041)摘要：从经济角度研究在9600千米以外的南极拖运冰山到波斯湾，将其化成冰水取代淡化的海水作为国民用水的问题．我们通过对

2、实际问题的分析，用微积分的方法建立了冰山运输的数学模型．通过较大量的微积分计算以及使用数学软件Mathematica4．0计算，在忽略一些复杂因素的情况下得到结论：如果选用运载量为10米冰山体积的拖船并且平均以3千米／小时的速度将冰山运往波斯湾，则淡化后的海水成本比冰水的成本高出25倍．这一定程度上说明：冰山运输比海水淡化曼节约成本．关键词：冰山运输：燃料消耗率；融化速率；拖船速度；费用中图分类号：O172文献标识码：A1问题提出以盛产石油著称的波斯湾地区，浩瀚的沙漠覆盖着大地，水资源十分贫乏，不得

3、不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约每立方米淡水0．1英磅．因此，有些专家提出：从相距9600千米之遥的南极用拖船运冰山到波斯湾以取代淡化海水的办法为国民提供用水．试从经济角度研究冰山运输的可行性【1J．为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用，我们需要关于拖船租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速度等方面的数据．根椐有关资料我们得到如下数据：1．1三种拖船的日租金和最大运量表11．2燃料消耗率燃料消耗率(英磅／千米)，主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可忽略不计．表2燃料

4、消耗率虿(英镑／千米)冰山体积(米3)10510610718．412．512．6船速“(千米／小时)312．813．516．2513-216．519．81．3冰山运输过程中的融化速率冰山运输过程中的融化速率(米／天)，指冰山表面每天融化的厚度，融化速率除与船速有关外还和运输过程中冰山到达处与南极的距离有关．融化速率r(米／天)与南极距离，(千米)010003oo010O．10-3船速“(千米／，J、时)300．150．45500．20．6收稿日期：2002．12．20作者简介：朱培~(1956．)，

5、男，博士后，西南民族学院数学系教授．维普资讯http://www.cqvip.com第2期朱培勇等：冰山运输问题的微积分解法1412模型假设(1)拖船在航行中船速始终不变，航行不考虑天气等因素，每天24d',时航行，总航行距离9600千米．(2)为了计算方便，假设冰山形状是球形，球面上各点的融化速率相同．(3)冰山达到目的地后，l立方米冰可融化成0．85立方米的水．3模型建立假设一冰山最初起运时体积为立方米，拖船速度为(千米／d,时，常数)，船从南极出发时刻为f=0，出发后第厌船与南极距离，=)，第

6、f天冰山的融化速度为，．=r(t)．我们要从经济角度研究冰山运输的可行性，首先必须算出体积为的冰山运往波斯湾后每立方米水所需费用，Vo)．即计算：运输中的总费用s(u，Vo)租船费用+燃料费用体积的冰山运到目的地后成水的体积W(u，)W(u，)3．1冰山的体积变化设在时刻f冰山半径的融化速率为，．，根椐表l知，，．是船速和与南极的距离Z(f)的函数，即，．=r(u，Z)．当0，$3000时，r-~lh-ArE比，且与船速成线性关系．故不失一般性，可设，．=C1l(u+C2)，0，3000，当，>30

7、00时，，．与，无关，只与船速成线性关系．即，可设，．=+所以，有：，．(f)=【Cll(t)(u+c2

8、某一个固定时，另一个使成为线性函数．所以，不妨设=+)OgV+c；)(英磅／千米)，其中，，是待定的参数，利用表2中数据可得：=0．3，cl=6，q=一1，则到第f天的燃料消耗总费用：q(u，t)=I+c1)(1gV(t)+C；)dqt)(6)其中：l(t)是在第f天离南极的距离，l(t)=24ut，即=7．2u(u+6)[1g母3_1]dt=7．2u(u+6)~书『_1】∽3．3运送冰山的总费用由表l知，拖船的日租金取决于船的型号，即最大运输量，相当于冰山的初始体积