灰色预测模型理论及其应用

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1、灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息乂含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与吋间有关的灰色过程的预测.尽管过程屮所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、冇界的，因此这i数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元冋归分析等需要较多数据的统计模型不一样.因此，对于只有少量观测数据的项口来说，灰色预测是一种冇用的工具•本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。一、灰色系统及灰色预测的概念1.1灰色系统灰色系统产生于

2、控制理论的研究中。若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称Z为白色系统。若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系來观测研究，这种系统便是黑色系统。灰色系统介于二者Z间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。区別白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。1.2灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因索Z间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较

3、强的规律性,可以用它來建立和应的微分方程模型，从而预测事物未來的发展趋势和未來状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1)灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量(如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等)构造灰色预测模型，预测未來某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。(2)畸变预测(灾变预测)。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。(3)波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。(4)系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系

4、统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。上述灰预测方法的共同特点是：(1)允许少数据预测；(2)允许对灰因果律事件进行预测，比如灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项冃前景预测即为灰因白果律事件预测。(3)具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验(事前检验)，建模精度检验(模型检验)，预测的滚动检验(预测检验)。二、GM(lzl)模型2.1GM(1,1)模型G

5、M(1,1)模型是基于灰色系统的理论思想，将离散变量连续化，用微分方程代替差分方程，按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近，用生成数序列代替原始吋间序列，弱化原始吋间序列的随机性，这样可以对变化过程作较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型.•其建模的实质是建立微分方程的系数，将时间序列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型.经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律时，灰色预测GM(1,1)模型的预测将是非常成功的.2.2GM(1,1)模型的建立GM(1,1)模型是指一阶，一个变虽的微分方案

6、预测模型，是一阶单序列的线性动态模型，用于吋间序列预测的离散形式的微分方程模型.模型符号含义为GM(1,1)ttttGreyMode11阶方程1个变量设时间序列X(°)有个观察值，X(0>={x(0)(1),x(0)(2),---,x(0)(h)},为了使其成为有规律的时间序列数据，对其作一次累加生成运算，即令从而得到新的生成数列X⑴，X⑴彳兀⑴⑴,丿)(2),称兀⑼伙)+祇⑴伙)=b为GM(1,1)模型的原始形式。新的生成数列X⑴-•般近似地服从指数规律.则生成的离散形式的微分方程具体的形式为dxax=udt即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的.求解上述微分方程，解为

7、a当21时,X(C=x(l),即c=x(l)--，则可根据上述公式得到离散形式微分方程的具体a形式为兀⑴/、41)--Ia)z/r其屮，祇项中的尢为一的背景值，也称初始值；a,比是待识别的灰色参数，Q为发展系dt数，反映兀的发展趋势；U为灰色作用量，反映数据间的变化关系.按片化导数定义冇dxx(r+Q^)-x(r)—=limdtdeDr显然，当时间密化值定义为1时，当口/Tl时，则上式可记为dx—=lim(x(r+□/)—%(/))dtmez/y这表明加是-次累减生成的，因此该式可以改写为—=x(1)(r+l)-x