高考中数列通项公式求法

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1、.数列通项公式解法在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。本文针对近几年高考常考题型进行分析和归类，总结出了求解数列通项公式的常用九种方法。一．观察法命题题型：已知数列前若干项，求该数列的通项。思路方法：一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。案例分析：例1：根据数列的前4项，

2、写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：（2）（3）（4）....点评：观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。变式练习：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）4，44，444，4444，…（2）二、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1：已知等差数列是递增数列，前n项和为，且,成等比数列，，求数列的通项公式。解：设数列公差为∵,成等比数列，∴，即，得∵，∴………

3、………①∵∴………………②由已知条件∴由①②得：，故点评：此类题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。是较简单的基础小题例2：（2006年全国I文）已知为等比数列，.求的通项公式.解：设等比数列的公比为q，则q≠0，∵∴解之得...当代入得∴当代入得∴点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。三、累加法命题题型：若数列{an}满足的递推式，其中又是等差或等比数列或其它可求和的数列形式，则可用累加法求通项。累加后转化为求等差或等比前项和及其它数列求和问题。方法点拨：（差后等差数列），（

4、差后等比数列），思路方法：令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累加求得通项。即案例分析：例1：数列满足，求数列的通项；解：由已知得，……………………，，以上式子累加，得…==∴点评：本题累加后转化为求等差数列的前项和，注意共有项。...例2：已知数列中，，对任意自然数都有，求的通项公式.解：由已知得，……………………，以上式子累加，利用得…=…=∴点评：累加法是反复利用递推关系得到n—1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n—1项的和，要注意求和的技巧．本题应用到数列求和的拆项，裂项法。累加型递推关系的特征为：。变式练习：已知数列中

5、，，对任意自然数都有，求的通项公式.四、累乘法命题题型：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式。可用累乘法。思路方法：令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累乘求得通项。即利用………案例分析：...例1：已知数列中，，前项和与的关系是，求通项公式．解：由得，两式相减得：移项并整理得：即，∴，，……，，将上面n—1个等式相乘得：点评：本题的关键是通过变式化为型，当的值可以求得时，宜采用累乘法。例2.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，点评：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。累乘法是反复利用递推关系得到n—1个式子累乘求

6、出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n—1项的积，要注意求积的技巧和累乘后剩下哪些项。变式练习：已知数列中，，对任意自然数都有，求的通项公式.五、公式法命题题型：已知或求数列通项公式...思路方法：利用公式（一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合）案例分析：例1：已知函数，是数列的前n项和，点（n，Sn）（n∈N*）在曲线上，求通项公式解：∵点（n，Sn）在曲线上，∴，当时，当时，=又也适合此公式，∴点评：已知数列的前n项和求通项时，通常用公式。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a1和an合为

7、一个表达式。例2：已知数列其前n项和为Sn，且S1=2，当时，Sn=2an.求数列的通项公式；解：当时，，当时，有∴，当时，∵∴，由上面两式相减得：，即∴，故数列从第二项起是公比为2的等比数列，=故...点评：本题表面上是一个简单题，但学生容易做出错误结果。为什么呢？解题时，容易忽视的问题。要先分n=1，和对两种情况分别进行运算，最后验证能否统一。变式练习：已知下列两数列的前n项和的公式，求的通项公式。（1）。（2）六、待定系数法求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数

8、列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待