数学解题技巧：集合的概念与运算

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1、第一讲集合的概念与运算【考点透视】1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2.了解空集和全集的意义.3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.4.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元索的三要素；对于用描述法给出的集合要紧紧抓住竖线前面的代表元素*以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5.注意空集0的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如月匸B,则有力二0或0两种可能，

2、此吋应分类讨论.【例题解析】题型1.正确理解和运用集合概念理解集合的概念，正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y

3、y=x2+l,xeR},N={y

4、y=x+l,xeR},则MAN=()A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}C.{y

5、y=l,或y=2}D.{y

6、y>l}思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元索是实数y而不是实数对(x,y),因此M、"分别表示函数y=x2+l(xeR),y=x+l(xeR)的值域,求MC1N即求两函数值域的交集.解：M={y

7、y=

8、x2+l,xWR}二{y

9、y21},N={y

10、y=x+l,xGR}={y

11、yWR}・/.MnN={y

12、y^l}Cl{yIyWR}二{yI1},・••应选D.点评：①本题求MAN,经常发生解方程组得匕=°，或P=Uy=x+1.=1,」=2.从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、7是数集而不是点集.②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x

13、y=x2+l}>{y

14、y=x2+l,xWR

15、}、{(x,y)

16、y=x2+l,xGR},这三个集合是不同的.例2•若P={y

17、y=x2,xGR},Q={y

18、y=x2+l,xeR},则PQQ等于()A.PB.QC.*D.不知道思路启迪：类似上题知P集合是y=x2(xER)的值域集合，同样Q集合是y=x2+l(xER)的值域集合，这样PPQ意义就明确了.解：事实上，P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x2+1的值域,由P={y

19、y>0},Q={y

20、y>l},知QQP,即PAQ=Q.化应选B.例3.若P={y

21、y=x2,xGR},Q

22、={(x,y)

23、y=x2,xeR},则必有()A.PAQ-0B.PQQC.P二QD.PQQ思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P二Q,这是由于他们仅仅看到两集合屮的y=x；xWR相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y二x[xWR上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物.解：正确解法应为：P表示函数尸/的值域，Q表示抛物线y=x2±的点组成的点集，因此PAQ=0.・・・应选A.例4若A={xx2=i),B={xx2-2x-3=0}，贝()A.{3}B.{1

24、}C.0D.{-1}思路启迪：tA={xIx=-1,x=1},B={x

25、x=-l,x=3},.・.AcB={-1}.解：应选D.点评：解此类题应先确定己知集合.题型2.集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互界性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.例5・若A二{2,4,°2/—°+7},B={1,a+1,a~~2a+2,—丄(/—3a—8),a'+2/+3°+7},且AOB-{2,5},则实数°

26、的值是•解答启迪:VAnB={2,5},・・・/一2/_°+7二5,由此求得°二2或°二±1.A二{2,4,5},集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查.当°二1时，/一2口+2二1,与元素的互异性相违背，故应舍去°二1.当°=一1吋，B二{1,0,5,2,4},与ACB二{2,5}相矛盾，故又舍去a=~l.当4=2时,A={2,4,5},B二{1,3,2,5,25},此时AAB={2,5},满足题设.故a=2为所求.例6.己知集合A二{a,a+b,a+2b)ac,ac2}.若

27、A二B,则c的值是•思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.解：分两种情况进行讨论.(1)若a+b二°C且c/+2b二ac",消去b得：a+ac"—2qc=0,g=0吋，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故°H0.Ac2—2c+l=0,即c=l,但c=l时，B中的三元素又相同，此时无解.(2)若a+b二ac'且a+2b二ac,消去b得：2ac2