第十九章含参量积分

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1、洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案第十九章含参量积分§1含参量正常积分教学目的掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则．教学要求(1)了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．教学建议(1)要求学生必须理解含参量正常积分的定义．(2)要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明.教学程序一、含参量正常积分的概念定义设二元函数在矩形区域上有定义，且对内每一点，函数关于在闭区间上可积，则定义了的函数=，（1）设二元函数

2、在区域=上有定义，函数，为上的连续函数，且对内每一点，函数关于在闭区间上可积，则定义了的函数=，（2）称（1）和（2）为含参量的正常积分．类似可定义含参量的正常积分．二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性（一）、连续性20洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案定理19．1(连续性)若二元函数在矩形区域=上连续，则函数=在上连续．证明设，对充分小的，有（若为区间端点则考虑或），于是=（3）由于在有界闭区域上连续，从而一致连续，即对任给的正数，总存在某个正数，对内任意两点与，只要,就有（4）所以由（3）（4）可得：当，=这就证得在上连续．（同理，若二元函数在矩形区域=上连续，则函数=

3、在上连续．）定理19．1的结论可写成：（极限运算与积分运算交换顺序）.定理19．2(连续性)设二元函数在区域=上连续，其中函数，为上的连续函数，则函数=，（6）在上的连续．20洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案证明：对积分（6）作换元，令，则==在矩形上连续，由定理19．1即得结论（二）、可微性定理19．3(可微性)若函数与其偏导数都在矩形区域=上连续，则=在上可微，且=证明：设，对充分小的，有（若为区间端点则考虑单侧导数），于是.由于拉格朗日中值定理及在矩形区域=上连续（从而一致连续），即对任给的正数，总存在某个正数，只要，就有=因此这就证得对一切，．定理19．4(可微性)若函

4、数与其偏导数都在区域=上连续，，为定义在上其值含于的可微函数，则20洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案=，在上可微，且=+.（7）证明把看作复合函数：＝=,其中,由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有==+（三）、可积性定理19．5(可积性)若二元函数在矩形区域=上连续，则函数=和=分别在和上可积．证明由,的连续性即知.定理19．6(可积性)若二元函数在矩形=上连续，则=.证记，,其中，现分别求与的导数.，对于，令=，则有，因为与=都在上连续，由定理19．320洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案=，故得=，，又=，即=，，取即得所欲证．三、应用的例例1求.解记，由于，

5、，连续，所以＝.例2计算积分=.解考虑，由定理19．3===，所以===，20洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案另一方面=，所以=，例3设在的某个邻域内连续，验证当充分小时，函数=的各阶导数存在，且=解=及其偏导数在原点的某方邻域内连续，==，所以=，=，故=.例4求=.解=，所以=====，注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求出提供了方便.思考题:1．根据本节的各定理，在一般的区间上含参量的正常积分的分析性质有些什么样的结论？2．能否找出更弱的条件使本节的某些定理仍成立，可否给予证明？20洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案作业教材178:1—

6、6.20洛阳师范学院数学科学学院《数学分析》教案§2含参量反常积分教学目的掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．教学要求(1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法．(2)掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．教学建议(1)本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性．(2)本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定

7、理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结．教学程序定义设函数定义在无界区域=上，若对内每一个固定的，反常积分都收敛，则它的值定义了上一个的函数，记=，.（1）称（1）式为定义在上的含参量的无穷限反常积分.一、一致收敛概念及其判别法（一）、一致收敛的定义定义1若含参量的反常积分（1）与函数对任给的正数，总存在某个实数，使得当时，对一切，都有，即20洛阳师范学院数