对流扩散问题的几种紧致差分格式

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1、式，从而以一种全新的角度理解过去的各种方法，深入理解仅以截断误差阶判断方法准确度的局限性．接着，通过对二阶基本差分格式进行修正，给出一种截断误差为三阶的格式，并从格式构造过程中可以看出有限差分法提高数值解精度的真正困难所在．最后利用同文献【13】一样的摄动修正思想，给出一种截断误差阶为四阶的格式．数值实验表明，从全局来看，本文推导出的三种格式误差同前人已有的最好的方法基本在同一数量级，远远优于迎风格式．从最大误差来看，本文二阶、三阶格式相差无几，最优．第三节，研究二维情形．首先将前一节中的二阶基本格式的结果

2、直接推广应用到二维情形，得到一种无条件稳定的二阶五点差分格式，然后通过对系数的摄动修正给出了一种无条件稳定的四阶精度的九点差分格式．接着从原微分方程出发，通过泰勒展开并利用级数收敛性构造了又一种无条件稳定的五点新格式．最后数值算例表明，对于系数较大的对流占优方程，本文所构造的两种二阶格式在边界层上可以达到很好的逼近效果，且构造的四阶修正格式在非边界层处能取得更高的精度．§2一维对流扩散方程的差分格式§2．1形式上精确的差分格式定常一维含源线性对流扩散方程为{厶；

3、-一u”+乏：z)u：2／(x)，z∈(a，

4、6)；(2．1)Iu(n)=O／，u(6)=p、7其中乱=u(z)为待求量，A(x)>0为对流系数，／(x)为源项，并设A(x)、i(x)充分光滑，Q，卢为边界值．将区间I=[a，b]等距剖分为Ⅳ等分，节点集为：厶=a=Xo，x1，⋯，XN=b．步长h==-≠，记UO，Ul，⋯，UN为方程(2．1)在剖分节点的准确值，砜，队，⋯，％为要采用的离散差分格式在剖分节点的计算值。由Taylor公式，有虬，=喜掣=ui+u"知宁m·％=喜掣砘邶+努宁帆一其中。知札表示历dku．以下类似记号同理，不再说明。2(2．2

5、)(2．3)如记由方程(2．1)知u”=A札7一f，反复利用此式，可得A∥一，；胤”+Alu'一f7=(A2+∥)“7一(Af+，，)．(A2+A7)u”+(2AA7+AⅣ)u7一(A7，+A，7+，Ⅳ)(A3+3AA7+AⅣu7一【(A2+2A7)．厂+A，7+，Ⅳ】；k-2D血u(z)=bk(x)uk)一∑nk,j(x)DJf(x)j=o(2．4)(2．5)且简记bk(z)为b知，akd(z)为o％，j．对(2．5)式求导，且观察组式(2．4)，易知：序列bk(k=1，2，⋯)满足通项公式：{：：三二6

6、七一。+砭一。。尼：2，3，⋯，序列ak,o(忌=2，3，⋯)满足通项公式：=1，=bk一1+口Z一1．o(k=3，4，⋯)序列。幻0=1，2，⋯)满足通项公式：aj+2，J=1，ak，j=ak一1，j一1+o：一lJ(后=J+3，J+4，⋯)(2．5)式分别代入(2．2)、(2．3)，有：“i+l2让i+乱：∑芒1bk(Xt)胪／尼!一∑墨2∑笔；妣，J(轨)．厂。’(xi)h‘／意!札i+趾：∑墨。bk(xi)h知／七!一∑器o，。’(zt)[ZL-J+2akd(x_i)h2／刎ut一1=％+让：∑墨l

7、b％(戤)(一危)知／尼!一∑墨2∑譬n％，J(兢)，。’(戤)(一危)船／后!=钆{+u：∑墨1bk(xt)(一^)膏／k!一∑墨o，u’(翰)[∑墨，+2o幻(翰)(一^)知／忌!】＆(z)=∑bk(x)h。／k!k=l00&(z)=一∑南=1bk(z)(一九)8／k13(2．6)(2．7)(2．8)(2．9)(2．10)(2．11)(2．12)II=JI=；U。"矿∥，●●●●●●●●，、l●●●●I【0彩黜，●●，、【和Gl(x)=G2(x)=则(2．9)，(2．10)式为勺(z)=∑口匙，j(x)

8、h知／七!k：j+2dj(z)=∑纸，J(z)(一九)七／凫!k=j+2声【囊Q。J(x)ht／尼!】∥，(z)=妻勺(z)∥，(z)D。萎。％(‰l】聊@卜甍姒∞∥八动j=o缸=j+2，一“oo∑[∑％j(z)(一^)。／k[]DJf(z)。j=ok=j+2讹+l=Ui+乱：S1i—G1t让“=Ui一《岛i—G2,(2．13)(2．14)(2．15)(2．16)(2．97)(2．107)其中Sn：sl(甄)，&t：＆(疵)，G“=Gl(戤)，G2《=as(耽)．上两式消去u：，即得到在点翰处的准确差分方程

9、：一S1{讹一1+(&{+S2t)Ⅱt一如％+1=s1{G2i+s2tGlt0=1，2，⋯，Ⅳ一1)上式两端同除以Slt，可等价于：一t正扣1+(1+Qt)ui—Q{钍件1=G饿+QiGl{(i=1，2，⋯，Ⅳ一1)(2．17)(2．17’)确的黧篡i她j等可根据通项公式(2-6)’(2．7)，(2．28)，利用Mathe删ca符号撇能序列6知以及ok，J等可根据通项公式(2-6)，(2·7)，(·8)，利用Ma