《几何小吃》的简约美

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1、１６数学通报２０１８年第５７卷第９期《几何小吃》的简约美蒋迅里面．于是问题出来了：有多少面积露在了外面．这道题公布以后，ｔｗｉｔｔｅｒ的网友们各显神通．有人用ｄｅｓｍｏｓ给出了答案；还有人用Ｊａｖａｓ－ｃｒｉｐｔ写了一段程序，用计算概率的方法给出了一个近似值．更多的人则是老老实实地用手计算．英国哈德斯菲尔德大学的一位数学教师培训师爱德华·索撒尔（ＥｄｗａｒｄＳｏｕｔｈａｌｌ）和一位法国中学数学教师文森特·潘塔罗尼（ＶｉｎｃｅｎｔＰａｎｔａｌｏｎｉ）最近合作出了一本书《几何小吃》（Ｇｅ－ｏｍｅｔｒｙＳｎａｃｋ）．作者把数学问题制作成一看就懂

2、、并让读者立即产生跃跃一试的智力题．这些题目里没有复杂的概念，甚至都不需要多少描述．但是当你真正开始动手去做的时候，你又发现其实它并不那么简单．而当你真的得到了最后的结果时，你会有一种成就感．这样的数学问题具有的是简约之美．在我看来，简约之美是大多数人喜欢数学的原动力．这道题用到的都是平面几何里的最基本性我没有读过这本书．但我在ｔｗｉｔｔｅｒ上一直是质．答案是：（７槡３－１２）／２，读者可以自行验证．索撒尔的粉丝．除了培训以外，他还是一位具有例２如图．给两１４年教龄的中学数学老师并有自己的数学网站．个单位圆，求正三角从这本书的介绍来看，他

3、书中的几类几何题都在形的面积．ｔｗｉｔｔｅｒ上发布过．现用他公布的一些例子来体验作者仍然省去了一下他的教书理念．精确的题目表述．这例１如图．求阴影部分的面积．就像是在咖啡店里要这道题的描述不多，但看到图片后一目了然．一份甜甜圈一样，你不会说要一个圆环形的外径现在你有一个正方形和一个几乎嵌入到里面的等为多少厘米的甜甜圈．从图我们知道两个圆相切，边三角形．当然这个三角形不可能嵌入到正方形２０１８年第５７卷第９期数学通报１７并上下叠落在三角形的（垂直）中线上．上面的一个单位圆则与正三角形在两个点上相切．试想一下，真地把这些条件都叙述出来的话，题

4、目就显得过于累赘．个正方形．索撒尔喜欢在正则图形上做文章．他有时候干脆说，你看着是正方形的话，它就是正方形；你看着是直角，那它就是直角．下图的解法虽然不严格，但挺奇妙的．解这道题的第一步是在两圆切点处做切线，于是得到上面与一个单位圆相切的正三角形．容易知道，这个正三角形的高是３，从而大的正三角２５形的高为５．最后的面积为．也有人求助于槡３ｄｅｓｍｏｓ，用解析几何的方法来完成．例３如图．阴影的面积是多少？正五边形的每个顶点是１０８°．所求之角是它我们把这个题的完整的一半，即５４°．欧美国家的数学竞赛中，几何题目描述和解答留给读者．注常常是这

5、种计算角度、长度、面积等问题．如果你意这个题目（以及许多题有捷径可走，未尝不可呢？当然竞赛过后，还是应目）都可以推广．比如，我该把完整的解答补上．们可以有下面的一些变形．例５一个直角三角形和三个等边三角形．求两角之和．看完这些推广之后，请读者自己回想一下，刚粉丝们这次用了ＧｅｏＧｅｂｒａ．他们发现，其实才在读前两个例子的时候，你有没有想到推广一这个直角的条件是多余的．答案是１８０°．这道题并下呢？如果没有的话，那么现在再回过头去想一不在《几何小吃》这本书中，但书中的第１６题可以下，你会如何推广？帮助读者给出严格的证明．例４求角度（假定正则

6、性）．例６证明两个阴影部分面积相等．所谓正则性，是指我们有三个正五边形和一在《几何小吃》里也有几何证明题．上面这道１８数学通报２０１８年第５７卷第９期最繁琐的了．我想像着，《几何小吃》这本书的题目不过如此．这道题的答案在下面的图中．我很好奇，中学生能观察到多少直角？另外，这个题目里给出的是三个七边形．那么对其他正则多边形我们能得到多少直角？如果有四个七边形结果又会如何？你看，题中有题．如果这道题放到《几何小吃》里，一定不会是就事论事．题非常类似于中国课本中的证明题．证明可以用切割线定理（弦切线定理）来做的．也有粉丝用ＧｅｏＧｅｂｒａ给出证

7、明．我们把细节忽略．例７证明两个四边形面积相等．从图形看，我们有一个正七边形．中间水平的一条连线上被上面的四边形的一个顶点分成了相等的两段．其实这最后的条件是故意用来迷惑读者的．这道题的证明思路都在下面的图中．有粉下面再给出几道题目．现在我把问题和条件丝在ＧｅｏＧｅｂｒａ上制作了一个证明．就是这个全部略去．大家一定都知道该做什么了．这四道题截图．代表了《几何小吃》中的四类题型．还有一个题型是日本的算额．我希望有机会时另文写出来．例８三个正七边形如图连接．如果连接他们的顶点的话，这里面隐含有若干个直角．你能把它们找出来吗？我相信《几何小吃》

8、是一本不错的书．正如上面的这些题一样，作者试图通过每一道题来揭示一个奇妙的现象．很多题目都有多种解法，有些连身经百战的老师们都不曾想到．于是当你解决了一个问题后又得到了惊喜和挑战．然而这样的题