线性空间的定义与简单性质

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1、§2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义二、线性空间的简单性质引例1在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：而且这两种运算满足一些重要的规律,如引例2数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算同样满足上述这些重要的规律，即一.线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对在V中都存在唯一的一个元素r与它们对应，称r为的和，记为；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果

2、加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：加法满足下列四条规则：①②③在V中有一个元素0，对（具有这个性质的元素0称为V的零元素）④对都有V中的一个元素β，使得;(β称为的负元素）数量乘法满足下列两条规则:⑤⑥数量乘法与加法满足下列两条规则：⑧⑦注：　　1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算．2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．3．线性空间的判定：若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间．例1　引例1,2中的Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2

3、　数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x]n表示．例3数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用表示．例4　任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间．例5　全体正实数R＋，1)加法与数量乘法定义为：2)加法与数量乘法定义为：判断是否构成实数域R上的线性空间.解：1）不构成实数域R上的线性空间.⊕不封闭，如R＋．2)构成实数域R上的线性空间．首先，≠，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.事实上,,且ab唯一确定；,且ak唯一确定．其次，加法和数量乘法满

4、足下列算律①②③R＋，R＋，即1是零元；④R＋，R＋，且即a的负元素是；⑤R＋；⑥⑦⑧;∴构成实数域R上的线性空间．例6令即n　阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间．证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知其中，又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素.以的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为－，则f(A)有负元素－f(A).由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.二、线性空间的简单性质1、零元素是唯一的.证明：假设线性空间V有两个零元素，则有01＝01＋02＝02．2、，的负元素是唯一的，记为-.证明：假设有两个

5、负元素β、γ，则有◇利用负元素，我们定义减法：3、证明：∴两边加上即得0＝0；∴两边加上；即得k0＝0;∵∴两边加上－即得∵∴两边加上即得4、如果＝0，那么k＝0或＝0.证明：假若则练习：1、P273：习题3　1）2）4）　2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量.证：设而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.作业P273　习题3：5）6）7）