函数值域(最值)求法小结

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1、函数值域(最值)求法小结函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点,因此能熟练掌握其值域(最值)求法就先得十分的重要,本节旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法,希望对广大读者有所帮助。一、配方法适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。例1、求函数的值域。分析与解：本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:配方得:利用二次函数的相关知识得,从而得出：。说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：。例2、若,试求

2、的最大值。2y分析与解：本题可看成一象限动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得:,y=1时,取最大值。4Ox二、观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数。例:求的值域.分析与解：由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：三、部分分式法适用类型：分式且分子.分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式。例：求函数的值域。分析与解:观察分子、分母中均含有项,可利用部分分式法；则有不妨令：从而注意：在本题中若出现应排除,因为作为分母.所以故

3、另解：观察知道本题中分子较为简单,可令,求出的值域,进而可得到y的值域。四、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例：求函数的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反解得即知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：。五、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。例：求函数的值域。分析与解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式

4、，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△,△细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。将分别代入检验得不符合方程，所以。六、换元法适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。例1、求函数的值域。分析与解：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。例2、已知是圆上的点，试求的值域。

5、分析与解：在三角函数章节中我们学过：注意到可变形为：令2p)则p)即故例3、试求函数的值域。分析与解：题中出现而由此联想到将视为一整体，令由上面的关系式易得故原函数可变形为：六、数形结合法：适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例1、:求函数的值域.AyP(2,3)分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线OBx和圆上点的连线和圆相切时取

6、得,从而解得:点评:本题从函数本身的形式入手,引入直线的斜率,结合图形,从而使问题得到巧解.例1、求函数的值域。分析与解：由绝对值的几何意义知：表示数轴上的动点（不妨设为（x,0））到定点（2，0），（-5，0）的距离之和，结合图形不难得到：。x2x05七、不等式法：适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：）例1、当时，求函数的最值，并指出取最值时的值。分析与解：因为可利用不等式即：所以当且仅当即时取”=”当时取得最小值12。例2、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（）。AB4C2D分析与解：根据双

7、曲线的离心率公式易得：，我们知道所以（当且仅当时取“=”）而故（当且仅当时取“=”）。说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。六、有界性法：适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。例：试求函数的最大值。分析与解：根据余弦函数二倍角公式化简得：十：单调性法：适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例：求函数的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：。