资源描述：
《初中数学解题方法之旋转》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、初中数学解题方法之旋转【摘要】初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质,在图形的运动中找到不变量，然后解决问题.【关键词】解题方法；几何变换；旋转在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使其转化成新的有利于我们论证的几何图形.一、三角形角度问题（旋转构成直角三角形）例1如图1,点0是等边三角形ABC内一点，0A二3,0B=4,0C=5,试证明以下结论：ZAOB=150°.分析这里待证结论与题目的已知条件看似风马牛不相及，但是已知条件特征明确，有
2、等边三角形，即可以产生60°的角，而OA=3,OB=4,OC=5的线段虽没法直接运用,但是很容易使人联想到勾股数，因此如果能将其放到某一个三角形中，便可以应用勾股定理逆定理得到90。的直角，再看结论，恰好是要证明的150。角，正好是60°与90°之和,如果突破这里，问题便迎刃而解了.解将线段BO绕点B逆时针旋转60°到:BD的位置（如图2）（或将△BC0绕点B逆时针旋转至ABAD的位置，使得BC与BA重合），则Z0BD=ZCBA=60°,且AD=0C=5,从而得ABOD为边长是3的等边三角形，0D=4且ZBOD二6
3、0°.而在AAOD中，由勾股定理逆定理得AAOD为直角三角形，且ZA0D=90°,从而ZAOB=ZAOD+ZBOD=150°.小结这是一个关于旋转的典型题目，较好地体现了图形在旋转动态过程中对应边、对应角不变的性质，结合图形的几何特征，融合勾股定理逆定理、等边三角形等性质，对提升学生几何思维，经由发现问题、分析问题、综合应用数学知识来解决问题的过程，较好地锻炼和提升了学生的数学素养.二、面积问题（旋转面积之和）分析AAOB中只知道OA,0B两条边，求它的面积就需要求出其中某个边上的高，由例1我们知道ZA0B=150
4、°,延长A0,过点B作EE丄A0延长线于点E,则RtABOE中，0B=4,ZBOE=30°,由三角函数可以求得BE的长，从而AAOB的面积可求•用同样的方法能否求得AAOC的面积呢？请读者一试.下面我们利用旋转构造新的图形来求.小结这里所求的是一个凹四边形的面积，可将其分割开来求，由前面方法的铺垫，AAOB的面积易求，但是AAOC的面积就显得不是很容易求得，通过旋转后，将待求的四边形转化为常规几何图形，化繁为易，值得推敲.三、证明线段的和差关系（截长或补短问题）例3探究问题：（1）方法感悟：如图5,在正方形ABCD
5、中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足ZEAF二45°,连接EF,求证：DE+BF二EF.感悟解题方法，并完成下列填空：将AADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG二DE,Zl=Z2,ZABG=ZD=90°,・•・ZABG+ZABF二90°+90°二180°,因此，点G,B,F在同一条直线上.TZEAF二45。，•IZ2+Z3=ZBAD—ZEAF=90°—45°=45°.TZl=Z2,・••Zl+Z3=45°・即ZGAF二.又AG=AE,AF=AF,/.AGA
6、F^・・••二EF,故DE+BF二EF.(2)方法迁移：(答案：DE+BF=EF.)(3)问题拓展：小结线段和差的转化是依据图形的特征，应用旋转的方法达到目的，该类型的题目需要利用旋转解决，特别注意旋转以后必须要证共线，想想为什么.由于题目具有很强的几何特征，比如有相等的边、互补的角等，同时依据旋转后图形的固有性质不变，牢牢把握这类性质是解决此类题目的关键.四、正方形中的周长定值问题例4如图8,在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB的顶点在第一象限，底边0B在x轴的正半轴上，且0A=AB=10厘米，0B=12厘米，动
7、点C从点A出发，沿A0边向点0运动（点C不与点0重合），运动速度为1厘米/秒，运动时间为t秒.过点C作CD〃0B交AE于点D,以CD为边，在点A的下方作正方形CDEF（如图8）.（1）当t为何值时，EF在0B±?（2）当边EF在0B边上时（如图9）,连接正方形CDEF的对角线CE,将ZDCE绕点C按顺时针方向旋转（0。小结在动态过程中，结合图形的位置是不断发生变化的，但是作为图形的一种整体运动，实质上保持了图形本身的内在属性，边相等，或角相等，或边角都相等，或边角同时都以某种规律增大或减小，而其相对性质保持稳定，这
8、时候我们便可以借助这些属性加以求解.此题巧妙地借助旋转，利用转化思想及截长补短的方法，证明了图形在动态过程中的某些属性的不变性.五、存在性问题分析AFFG作为一个整体元素进行旋转，在旋转过程中EG所在直线与射线AD、射线FB有交点，这里首先需要弄清楚在旋转的初始位置时，点G和点E在哪，与要求的射线AD、射线FB又有怎样的位置关系•这里通过计算可以得到刚开始旋
