数学解题的基本过程

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1、数学解题的基本过程陕西师范大学数学系　罗增儒　710062029-8530887213609297766E-mail：zrluo@snnu．edu．cn我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程．解题过程不仅仅是“书写表达”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤，通常有四个基本的阶段（波利亚）：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思．科学把握好这四个阶段是一种良好的解题习惯．大家对这四个阶段应该都不陌生，但是，能够给学生说清楚、讲明白吗？比如大家都知道解题首先要审题，但是审题“审什么？怎么审？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道解题的关键是思路探求，但

2、是探求“探什么？怎么探？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道解题书写很重要，但是书写“写什么？怎么书？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道学会解题的好途径是反思，但是反思“思什么？怎么思？”能够给学生说清楚、讲明白吗？下面，我们一起来经历解题过程，从做一道最新高考题开始．1数学解题的热身例1设，若时均有，则_____．（2012年数学高考浙江卷理科第17题，4分）先请独立求解，然后分析两个学生的解法，最后交流你们的解法1-1两个解法请辨析1-1-1解法呈现解法1分为以下两种情况（两式同时非正或同时非正）：（1）当时，由已知，对有，两式相加消去，得，对成立．

3、这是不可能的，取就矛盾，即在这种情况下无解．（2）当，由已知，对有，两式相加消去，得，对成立．这是不可能的，取就矛盾，即在这种情况下无解．所以，本题无解（或是一道错题）．解法2对分两种情况讨论．（1）当时，由，有，从而．有，这时对，及，有，得．（2）当时，由，（）得，（）但时，，故，（）取，即是方程的解，有解得．合并得．（请大家把想法写下来）1-1-2解法分析第1、解法1的分析．（1）解法1是“会而不对”．思路有合理成分，但叫做“会而不对”一个反例便可说明其结论错误．（必要性）取，由已知有，得．反之（充分性），当时，对有恒成立．所以，本题有解，不是无解、更非错题．

4、（2）解法1的错误内容（主要说三点）：错误1：不能推出．指由已知“不能推出”（1）、（2）．仅当时，才能够由已知推出；仅当时，才能够由已知推出．而当时，可以大于0、等于0、小于0．（分五种情况，比较麻烦，但可以改写为两种情况，参见代数解法）错误2：构成矛盾无效．其实分两种情况讨论的同时，也对作了两种情况的区分．对第一种情况有，得．可见，这时取是无效的．对第二种情况有得，可见，这时取是无效的．所以，两种情况下构成矛盾都是盲目的、无效的．错误3：心理沿袭和监控缺失分两种情况讨论的同时，也把分成与两种情况，其实在解法1有明显的透露：由，可得；由，可得．但是解法1对此熟视

5、无睹，两种情况下都依然沿袭，并由此出发去构成无效矛盾，这除有知识盲点、逻辑盲点外，还有视而不见的心理沿袭和反思监控的思维缺失．（3）解法1错误的性质：既有知识性错误，又有逻辑性错误，还有心理性错误，主要是逻辑性错误．第2、解法2的分析．（1）解法2是“对而不全”．得出是对的，但过程有问题，叫做“对而不全”．（2）解法2的错误内容．主要出现在的情况．错误1：在时，函数没有最大值，函数没有最小值，分别是上、下确界为．（中学没有上、下确界，讲不清楚）错误2：在条件下推出，两者是互相矛盾的．（3）解法2的错误性质：错误1是知识性错误，错误2是逻辑性错误．1-1-3解法交流

6、第一部分、代数解法．代数解法1分5种情况讨论（1）（）（2）（），（3）（），（4）（）（5）（）比较麻烦还可能避不开上下确界．代数解法2分2种情况讨论．（1）当时，……得矛盾．无解．（2）当时，……得，且对均有．所以得．代数解法3更换主元，看成关于的不等式，有．（）比较的大小知：当时，有；当时，有．（1）当时，解关于的不等式有，得，得．（2）当时，解关于的不等式有，得，得．综上的得．当时，对均有．所以为所求．第二部分、数形结合．数形结合1作出函数，的图像可以发现（如图1），图1（1）两函数图像都过定点．（2）在的右半平面上，绕定点旋转直线可以看到，满足条件的图形

7、只能是：两函数图像或同在下半平面、或同在上半平面，即两函数图像的另一交点在轴上．对函数，令，得零点，其中；把零点代入，得，解之，取大于1的解，得．数形结合2将看成主元，由原不等式可得，有图2即直线介于两函数的图像之间(如图2所示)，故直线过两图像的交点(2，3)，有，得．第二部分、小题小解．难得不会想简单的（必要性），取，有，得．取，有，得．反之（充分性），当，时．所以得．其实，上面的解法都指向，抓住江湖上人称“一剑封喉”．2解题过程的讲解如上所说，科学把握好“理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思”这四个阶段是一种良好的解题习惯．这也是高考解题的基本过程，平时要

8、四步全面抓