电路分析课件12new

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1、§4-4单位阶跃函数与单位冲激函数1.单位阶跃函数(1)单位阶跃函数地定义为：(t)0t0(t)11t00t在t0时有跃变,其值无定义在t由负值趋近于0时，其瞬时值为t0在t由正值趋近于0时，其瞬时值为t0(2)阶跃函数可以用来描述开关动作t=0++USu(t)U(t)u(t)NSN(a)(b)(3)还可以定义延时的单位阶跃函数(t-t)00tt0(tt0)1tt10t0t0(4)阶梯状波形可表示为若干阶跃函数的叠加f(t)1t0t0ε(t)ε(t-t0)t0＝1＋0t0t1表示式：()ft()t(tt)0p(t)(t)2.单位冲激函数1

2、(幅度)(1)单位冲激函数的定义:面积=1面积=1(t)0t0tt0022}(1)(t)dt1(a)脉冲函数p(t)(b)单位冲激函数单位冲激函数可以看成是图(a)所示脉冲函数在0时的极限。当减小时，脉冲函数的幅度增加，而p(t)曲线下的面积总保持为1。当趋近于0时，上两式即可得到满足。单位冲激函数可设想为：在原点处宽度趋于零而幅度趋于无限大,但具有单位面积的脉冲。冲激函数所含的面积称为冲激函数的强度；单位冲激函数的意思是强度为1的冲激函数。0(t)dt(t)dt1(2)0(-)tt0(2)单位延时冲激函数的定义为(tt0)0tt0面

3、积=1(tt)dt10t0t0单位延时冲激函数δ(t-t)可设想为:在t=t处宽度趋于零00而幅度趋于无限大,但具有单位面积脉冲.(3)冲激函数—常数A与δ(t)的乘积A(t)0面积为AA(t)dtA(t)dtA00tA(t)的图形(4)延时冲激函数A(-)tt0冲激函数Aδ(t-t)可设想为0面积为A在t=t处,强度为A的冲激函数0t0t0例：一个原处于静止状态,质量为m的物体,在t=0时受到一冲击力F的作用,在t=0时获得速度为V+则该冲击力可以用冲激函数mt=0F=mvδ(t)Fv表示，冲激强度mv就等于冲击力t=0+作用于该物体的冲量,即

4、Fdtmv(t)dtmv例如：一带电量为Q的电容，在t=0时通过短路线放电时，放电电流可表示为i=Qδ(t)。iSt=0冲激强度Q等于电容的放电电荷++QCidtQ(t)dtQ(5)单位阶跃函数和单位冲激函数的关系—单位冲激函数等于单位阶跃函数的导数d(t)(t)dtt(t)(t')dt'证明：f(t)f'(t)面积为111/tt-0-02222(a)函数f(t)(b)函数f(t)对时间的导数图(a)所示为函数f(t)1－tf(t)对时间的导数用函数式表示为f'(t){220t－或t22(b)图为一矩形脉

5、冲,脉冲的高度是宽度τ的倒数，面积=1，在(a)图中,当τ0时,将有f(t)=ε(t)0t由负值020t由正值02而脉冲ft'()面积仍保持为1.因此由冲激函数的定义式可知dt()limft'()()t0dt即单位冲激函数等于阶跃函数对t的导数反之，由单位冲激函数的定义可知；t(t')dt'1(t0)t(t')dt'0(t0)结合单位阶跃函数的定义式有t(t)(t')dt'即单位阶跃函数等于单位冲激函数的积分在非常短暂的时间内产生的一个巨大的脉冲电流或电压,是冲激函数的一种近似.例:如图所示,将一个不带电的电容元件在t=0时通

6、过开关联接到一个电压源上.如果电容为1F,电源电压为1V,用单位阶跃函数ε(t)表示，可得u(t)=ε(t)C电容的充电电流du(t)d(t)ci(t)C(t)为一单位冲激电流cdtdti(t)i(t)=(t)s(=0)t++1Vuc(t)1F(t)uc(t)1F__(a)原始电路(b)用单位阶跃函数表示的等效电路若(a)图中电压源为US,电容为C,则换路后的充电电流为：du(t)d(t)ci(t)CCUCU(t)cssdtdt0qi(t)dtCUs0结论:(1)当电容的充电电流(或放电电流)为冲激电流时,电容电压要发生强迫跳变[u(0)=0,u(0)=U]

7、C-C+S(2)冲激电流通过电容的瞬间(0到0),电容极板上-+电荷的跳变量即等于冲击电流的强度CU.S例:将一个电感元件在t0时联接到一个电流源上，若电感为1H，电流源电流为1A，用单位阶跃函数()t表示，可得：it()L换路后电感元件的端电压dit()dt()LuL1()t为一单位冲激电压Ldtdts(=0)ti(t)(t)L++u(t)(t)1H1ALuL(t)1H_