有界线性算子空间中最佳逼近的强惟一性

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1、高校应用数学学报A辑App1．Math．J．ChineseUniv．Ser．A2002．17(2)：l59—164有界线性算子空间中最佳逼近的强惟一性何金苏，李冲(1．浙江师范走学数理信息科学学院，浙江空华3210042东南走学应用数学系，江苏南京210096)摘要：研究了有界线性算子空间中最佳逼近的强惟一性问题，给出了线性和非线性最佳逼近的强惟一性定理．关键词：最佳逼近；强太阳集强惟一性；插值(严格插值)子空问中圈分类号：O174．41文献标识码：A文章编号10004424(2002)02—0159—06§1引言

2、设x，y是赋范线性空间，G是x的子集，∈X，gEG，若lIz—gl—inflz—gl，E0则称g是G对的最佳逼近，G对z的最佳逼近全体记为P()．令L(x．Y)，K(x．Y)分别表示x到y的有界线性算子和紧线性算子空间，赋予算子范数．关于有界线性算子空间中的最佳逼近问题已有大量文献进行研究．而强惟一性是最佳逼近理论的一个重要问题，并与最佳逼近算子连续性及逼近算法的收敛性有密切的联系．但关于算子空间中的强惟一性的讨论不多(仅在K()中有所讨论)．本文首先讨论一般算子空问中非线性逼近的强惟一问题．给出了非线性算子逼近强

3、惟一性的一般结果，其次研究实或复插值子空间的强惟一性，从而加强和推广了已有的有关结果．§2非线性最佳逼近的强惟一性设x，y是赋范线性空间，S(x)表示x的单位球面．B(x)表示x的闭单位球，并在B(x)上赋予弱拓扑．令extB()为B()的所有端点全体．记n=B(Y)×B(X一)，n一extB(Y)×extB(X’。)，收稿日期：20001229基金项日：国家自然科学基金(19971013)：江苏省自然科学基金(BK99001)该文是第一作者在东南大学访问时完成的160高校应用数学学报A辑第17卷第2期并在n上赋予

4、乘积拓扑，这样n是紧Hausdorff空间．下面的结果出自文：1]．VT∈L(x，Y)定义gT(．工一)一Rest。‘T，V(y，工一)∈n，其中丁是丁的共轭算子．若7。∈(．y)．则在上连续．对任一定义在上的有界函数h，定义h(，‘)一infsuph(“，口)，V叫一(，2t"‘。)∈n，其中Ⅳ(训)是一(，5C一)的所有开邻域全体．则V7∈，』(x，Y)，A∈K(x，y)，如上定义，有i)在n上上半连续；ii)VA∈K(X，y)，(g1glt)(，2t"一)一g(，5C一)g．t(，2t"‘)；sup(Frg^

5、)(⋯)=sup(gT—g^)(“，)；⋯}n．．1∈iv)ll丁Al—llrAl—sup((“，口)一g^(“，))．、∈Iin进一步．令(7，A)一lira_L!±二’ll，则有，．1l‘引理2．1i)r(7，A)一max{Rest—A’：(．一)∈M(’))，V’∈K(X，y)，A∈K(X，Y)；ii)r(T．A)一max{Re’A：(，)∈M(丁))，V丁∈L(X，Y)，A∈K(X，Y)；iii)r(7，A)一lirasuptReyAx：(，)∈E(7))，V7∈L(X，Y)．A∈L(X，Y)．E—f一其中

6、M(丁)一{(，‘)∈n；g(，’)一l丁l}；M(7)一(．’)∈ng予(，’)一ll}；E(丁)一(，’)∈S(x)×extB(Y)：n≥l丁le)．命题2．1若G是K(x，Y)的子集，则下列论断等价：I)G是K(x，Y)的太阳集；ii)V。∈K(x，y)，∈G，则∈尸(’)V∈G，maxfRex一(V)：(，工)∈M0(丁0一V))≥O．命题2．2若G是K(x，Y)的子集，则下列论断等价：i)G是L(X，Y)的太阳集；ii)V∈L(x，Y)，V∈G，则∈P．(7．){VV∈G，l'IlaX{Re(一)’：(，

7、2t"一)∈肘(丁。V0)}≥0．命题2．3若G是，J(x，Y)的子集，则下列论断等价：i)G是，J(x，y)的太阳集；ii)V7．：∈L(x，Y)，。∈G，则、∈尸。(7．)学V∈G，limsup{Rey(—)：(，)∈E(丁0E·3为了，给出强惟一性定理，先引入下面两个概念及有关的结果：定义2．1。设G是Banach空间x的非空子集，2t"∈X，g。∈P()．若存在常数r>0使IlglI≥』—g．：l+rllg—gl，Vg∈G．则称g是5C的强惟一最佳逼近，其中使上式成立的最大常数称为的强惟一常数，记为r()，

8、即何全苏等：有界线一xJ~~-空间中最佳逼近的强惟一性]61()一infll兰二二ll二g一．I：v∈G＼{}If．1l¨I‘定义2．2设x．∈G．~-VxEX．是的强惟一最佳逼近导出矾是32的一致强惟一最佳逼近．即】nfr()>o．则称是G的强太阳点一其中一aCx—g。)+g。-若G的每一点都是G的强太阳点，则称G是强太阳集-命题2．4设GCX．则下述论断