辛空间两类算子阵的谱分析

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1、http://www.paper.edu.cn辛空间两类算子阵的谱分析1,2222张东杨雪源阿拉坦仓聂恒文1南开大学数学学院，（300071）2内蒙古大学数学系，（010021）email:zdy011235813@163.com摘要：本文讨论了辛空间中哈密顿算子矩阵及反哈密顿算子阵特征值和特征向量性质，证明了哈密顿阵的数值域关于Y轴对称，对于几类简单的哈密顿阵，讨论了主矩阵与分块矩阵的关系，给出了矩阵H和H的一个联系,给出了H的谱关于原点对称（λ∈δ()M⇔-λ∈δ(H)）的一个充分条件，121并且揭示了λ和-λ所对应的两个特征向量间的关系.完整

2、的刻画了反Hamilton算子的点谱与剩余谱之间的关系，证明了一类Hamilton算子的剩余谱为空。构造了一些具体的例子，把定理应用在波动方程生成的无穷维Hamilton算子。其中⎛⎞AB⎛⎞−ABH=,H=是哈密顿阵。1⎜⎟2⎜⎟⎝⎠CA−⎝⎠CA关键字:Hamilton算子反Hamilton算子谱特征向量剩余谱引言物理，力学中的许多偏微分方程都可以化为无穷维Hamilton系统，对无穷维Hamilton系统在国际上有好多学者以不同的角度进行了研究，诸如Arnold,Olver,Lax[11]等数学家都研究过Hamilton系统。无穷维Hamil

3、ton系统的正确概念是在1978年提出的[11]，它研究的是连续统介质，其与稳定问题，弹性问题，复合材料力学，断裂力学有关。通过对无穷维Hamilton系统的分离变量，即可得到Hamilton算子，与之相伴的是反Hamilton算子。但到目前为止，还没有Hamilton算子及反Hamilton算子谱的系统研究。定义1：设X是Hilbert空间，HDHXXXX:()(×→×)是闭的稠密线性算子，如*果()JH=JH，则称H为无穷维Hamilton算子.易于证明H具有形式⎛AB⎞∗∗H=⎜⎟(,)B==BCC。当X是有限维的Hilbert空间时，H则成

4、为Hamilton⎜∗⎟⎝C−A⎠矩阵。定义2：设X是Hilbert空间，HDHXXXX:()(×→×)是闭的稠密线性算子，*如果()JH=−JH，则称H为无穷维反Hamilton算子。易于证明H具有形式内蒙古大学本科生创新基金资助-1-http://www.paper.edu.cn⎛AB⎞∗∗H=⎜⎟（B=-B，C=-C）。当X是有限维的Hilbert空间时，H则成为反Hamilton⎜∗⎟⎝CA⎠⎛⎞0I*矩阵。其中J=⎜⎟，()表示共轭算子。⎝⎠−I0Hmm*xAxm定义3：X∈C，w（A）={λλ:=，x∈C,x≠0},由[5],[6]知,

5、Hxxδ()AWA∈(),W(A)是一个凸集合。定义4:δ()H={λλ∈−CIH:不是一一的}为H的点谱，____________-1rH()=∈{λλC（:IH−）存在但R(I-H)X为的剩余谱，λ≠}H____________-1CH()=∈{λλC（:IH−）存在但R(I-H)=X为的连续谱。λ}H鉴于有限维Hamilton算子在哈密顿力学系统中，并在其他分支，如控制论的Ricatti方程的求解上，有重要的作用，文章首先给出了Hamilton矩阵及反Hamilton矩阵的若干性质，随后将部分性质推广到无穷维空间。进一步，我们建立了反Hami

6、lton算子的剩余谱为空的充分必要条件，在此基础上，我们证明了一类了哈密顿Hamilton算子的剩余谱为空。1．主要结果⎛⎞ABHHH命题1：M==⎜⎟,,BBCC=为哈密顿阵，则如果B-C=±（A+A），H⎝⎠CA−HHB+C+A−A−(B+C)+A−A有δ（M）⊂δ（）∪δ(）22⎛I−I⎞−11⎛II⎞证明：令P=⎜⎜⎟⎟，则P=⎜⎜⎟⎟，⎝II⎠2⎝−II⎠H)H)−11⎛B+C+(A−AB−C−(A+A⎞直接计算PMP=×⎜⎟2⎜HH⎟⎝C−B−(A+A)−(B+C)+A−A⎠H于是当B-C=±（A+A）时，有HHB+C+A−A−(B+C

7、)+A−Aδ（M）⊂δ（）∪δ(）22⎛⎞AB−[3]HH引理1.M==⎜⎟,,BBCC=为哈密顿阵，如果λ∈δ()M，则-λδ∈()MH⎝⎠CA−⎛⎞ABHH引理2.M==⎜⎟,,BBCC−=−为反哈密顿阵,如果λ∈δ()M，则H⎝⎠CA-2-http://www.paper.edu.cn−λδ∈()M2n证明:由λ∈δ()M，知存在x∈C，使得Mx=λx于是JMx=λJx,2n2nHHHH其中JM=-（JM）=-MJ=MJH从而MJx=λJx，−H知λ∈δ(M)⇔λ∈δ(M)由引理1知，哈密顿阵M的谱关于Y轴对称，特别的是，当M是实域上的哈密顿

8、阵时，其谱关于原点对称，即λ∈δ()M⇔-λ∈δ()M，从而由W（A）之凸性，知0∈WA()，2n即存在x∈C，使得x与M