南邮 随机过程课件 10

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1、为了对白噪声过程进行频谱分析，下面§§§7.3白噪声过程的功率谱密度由此可知d函数的付氏变换为：引进d函数的付氏变换概念。+¥-iwt-iwt∫d()tedt=e=1-¥t=0一.白噪声过程定义二.d函数1+¥反之()iwt.反之d(t)=1×edw设{X(t)，tÎ(-¥,+¥)}为平稳过程，若它的具有下列性质的函数称为d函数.∫-¥2p均值为零，且谱密度在整个频率轴上非零常数，)1(()x=,0x¹0)2(∫+¥()xdx=1说明d()t«1构成一对付氏变换。dd¥,x=0-¥SX()w=N0(-¥

2、X()t白噪声过程。2p2p2pd函数的重要运算性质，即对任何连续+¥1+¥或2()iwt=1白噪声过程有类似白光的性质，其能量谱函数f(x)有：∫f(x)d(x)dx=f(0)∫pdwedw-¥2-¥p在各种频率上均匀分布。+¥或∫-¥f()(xdx-x0)dx=f()x0说明1«2pd()w构成一对付氏变换。例例例：已知白噪声过程的谱密度为：例例例：已知相关函数RX(t)=acos(w0t)，a,w0为常数。S()w=N(常数)(-¥

3、iii=1+¥解解解：由于d(t)«1R(t)=Nd(t)-iwtX0=acos(wt)edt则它的谱密度为：∫-¥0可见，白噪声过程也可定义为均值为零，a+¥niw0t-iw0t-iwtS()=∑a[(-)+(+)]=∫[e+e]edtXwpidwwidwwi-¥相关函数为Nd()t的平稳过程。表明任何两2i=10时刻t和t，X(t)与X(t)不相关，即白噪声随a+¥-i(w-w0)t+¥-i(w+w0)t1212=[∫1×edt+∫1×edt]2-¥-¥时间变化的起伏极快，而过程的功率谱极宽，=ap[d(w-w)+d(w+w)]00对不同输入频率的信号都能产生干扰。R(t)与S(w

4、)的图见书中表.XX2.互谱密度的性质.)2(Re[S(w)]为w的偶函数.§§§7.4联合平稳过程的互谱密度XY)1(S()w=S()w而Im[S()w]是的w奇函数.1.互谱密度XYYXXY+¥+¥+¥-iwt()()()设{X(t)}，{Y(t)}为联合平稳过程，()()QS(w)=R(t)coswtdt-iR(t)sinwtdtQSYX(w)=∫RYX(t)edtXY∫-¥XY∫-¥XY-¥+¥+¥R()tdt<+¥iwt故其实部是w的偶函数，虚部为w的奇函数。∫-¥XY=R()tedt∫-¥YX+¥-iwt()=()t1=-t-¥2则称SwRtedtXY∫-¥XY-iwt1()

5、()()=-R(-t)edt)3(SXYw£SXwSYw∫+¥YX11为互谱密度。+¥()-iwt1=∫RXY(t1)edt111+¥-¥R()=S()eiwtdSXY(w)=limE{FX(-w,T)FY(w,T)}XYt∫XYwwT®¥2T-¥=S()w2pXY1+¥令t=0，RXY()0=∫-¥SXY()wdw注注注：：：互谱密度一般不再是w的实的正函数.2p利用SXY(w)的付氏变换式和施瓦兹不等式例例例已知平稳过程X(t)和Y(t)的互谱密度为:例例例：设随机过程Y(t)是由一各态历经的白噪声即可证,()a+ibw/w0,w

6、()t的SXYw=122,0w³w0谱密度为s0，求互相关RXY()t，RYX()t及SXY()w，S(w)£limE{F(-w,T)}×E{F(w,T)}XYXYT®¥2T其中a,b,w为实常数,求R(t)S(w)。0XYYX1212()1+¥()iwt解解解:::QY(t)=X(t-T)=limE{FX(-w,T)}×limE{FY(w,T)}解解解:::RXYt=∫-¥SXYwedwT®¥2TT®¥2T2pR()t=E[X()(tYt+t)]XY=S()wS()w1w0wXYiwt=∫a+ibedw=E[X()(tXt+t-T)]=R(t-T)X-w02pw0由于S

7、(w)=S(w)=s(4)若X(t)和Y(t)相互正交，则aw0iibw0iXY0=ewtd+ewtd∫w∫ww--w0w0由d()t«1⇒RX()t=s0d()tS()w=S()w=.02p2pw0XYYXR()t=R(t-T)=sd(t-T)1XYX0=[(awt-b)sin(wt)+bwtcos(wt)]20000pwt0而R(t)=R(-t)==sd(t+T)2.2.2.线性时不变系统YXXY0§§§7.5平稳过程通过线性