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1、复变函数作业林聪萍、来雅萍习题一P.13（P.13）3．证明：（2）设z及z是两复数.如果z+z和zz都是实数，那么z和z或者都是实数，12121212或者是一对共轭复数.证明：设zu=+iv，zu=+iv111222则zz+=ui++vu+iv=()uu++i(v+v)1211221221zz=+()uiv(u+iv)=uu−vv+i(vu+uv)12112212121212由于z+z和zz都是实数，1212⎧vv+=021即可得⎨⎩vu+=uv01212解得vv==0或uu=1212当vv==0时，z和z都是实数；当u=u时
2、，两者是一对共轭复数.121212习题二P.372（P37）2、证明函数f()z=
3、z
4、除去在z=0外，处处不可微。22222证：设zx=+yi，则f()zz==
5、
6、x+y,令则u=x+y,v=0,f()z=u+vi，∂uv∂∂u∂v由定理3.1（C-R条件）知：f(z)可微的充要条件是=,=−∂x∂∂yy∂x∂∂uv∂u∂v而==2,xy0,=2,=0∂∂xx∂y∂y∂∂uv∂v∂u因此20x===,0===2y，∂∂xy∂xy∂即x=0,y=0，从而fz()只在z=0处可微。证毕'（P37）3、设函数fz()在区域D内解析。
7、证明：如果对每一点z∈D，有fz()=0，那么fz()在D内为常数。'∂uv∂∂v∂u证：设fz()=+uvi，则f()zi=+=−i，∂x∂∂xy∂y'∂uuv∂∂∂v由fz()=0得====0，故ux(,y)=常数,v(,xy)=常数，∂∂xy∂y∂y从而fz()=常数。证毕（P37）5.证明：若函数f(z)在上半平面解析，那么函数f(z)在下半平面解析.解：设Fz()=f(z)，z为下半平面上任意一点。要证f(z)在下半平面解析，只需证明Fz()0'在下半平面处处可导，即证Fz()存在，而0'F()z−−F(z00)fz(
8、)fz()Fz()==0limlimzz→→00zz−−00zzzzf()zf−−(z)f()zf(z)00==limlimzz→0zz−0zz→0zz−0''由于z,z，是上半平面上的点，且f(z)在上半平面解析，所以上式右边极限存,且有Fz()=f()z.000由z的任意性，可得Fz()在下半平面处处可导，即Fz()在下半平面解析.02z（P37）6.试利用柯西—黎曼条件，证明下列函数在复平面上解析：ze,,sinz,cosz；2z而下列函数不解析:ze,,sinz,cosz.解：令zx=+yi，则2222（1）z=+()x
9、yi=x−y+2xyi，22∂∂uu∂∂vv此处ux=−y,v=2xy，=2,x=−2yy,=2,=2x∂∂xy∂∂xy∂∂uv∂v∂u2所以有=,=−，满足C—R条件，所以z在复平面上解析.∂∂xyx∂∂yzx()+yixx（2）ee==ecosy+iesiny∂∂uvx∂vx∂u==eycos,=esiny=−，满足C—R条件.∂∂xyx∂∂yiz−+izi()xyi−i()x+yi−yy−yyee−−ee−esinx−esinxecosx−ecosx（3）sinzi===+22ii22−−yyyy∂−uxcose−cosx
10、e∂v∂v−sinxe+sinxe∂u==,==−,满足C—R条件.∂∂x22yx∂∂yiz−+izix()yi−ix()+yi−yy−yyee++eeecosx+ecosxesinx−esinx（4）coszi===+2222−−yyyy∂−uesinx−esinx∂v∂vecosx−ecosx∂u==,==−,满足C—R条件.∂∂x22yx∂∂y2222（5）z=()x+yi=−−xy2xyi，22∂uu∂∂v∂v此处ux=−y,v=−2xy，=2x,=−2,yy=−2,=−2x∂∂xy∂x∂y∂∂uv∂v∂u2所以有=,=
11、−不成立，因此不满足C—R条件，所以z在复平面上不解析.∂∂xyx∂∂yz()xy+ixx（6）e==eecosy−iesiny∂∂uvx∂vx∂uz=≠eycos,=esiny≠−，不满足C—R条件，所以e在复平面上∂∂xyx∂∂y不解析.类似的可以证明sinz和cosz在复平面上不解析.∂uv1∂∂uv∂（P37）7.证明在极坐标下的柯西—黎曼条件是：=，=−r∂rr∂θ∂θ∂r解：令xr=cosθ，yr=sinθ，则∂∂uu∂x∂u∂yu∂∂u=⋅+⋅=cosθ+sinθ……………………………………………(1)∂∂rx∂r
12、∂y∂r∂x∂y∂∂uu∂x∂u∂y∂u∂u=⋅+⋅=(s−rinθ)+rcosθ…………………………………..(2)∂∂θθxy∂∂∂∂θx∂y∂∂vv∂x∂v∂y∂v∂v∂u∂u=⋅+⋅=cosθθ+sin=−cosθ+sinθ…………………(3)∂∂rx∂
