材料力学 第三讲(辽宁工业大学 郭鹏飞教授)

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1、§2-5拉（压）杆的变形·胡克定律1、拉(压)杆的纵向变形1FddFll1绝对变形∆l=l1-l长度量纲∆l相对变形ε=线应变--每单位长度l的变形，无量纲当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵向线应变。yx截面处沿x方向的纵向平均线应变为∆δxC∆xOxx截面处沿x方向的纵向线应Az∆xB变为∆δdδxxε=lim=x∆x+∆δx∆x→0∆xdxAB'x线应变以伸长时为正，缩短时为负。2、横向变形1FddFll1横向绝对变形∆d=d1-d∆d横向线应变ε′=d3、荷载与变形量的关系——胡

2、克定律1FddFll1当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时Fl∆l∝AFlFl=N引进比例常数E∆l=EAEA1FddFll1FlN∆l=拉（压）杆的胡克定律EA-1-2E—弹性模量，量纲与应力相同，为MLT，单位为Pa；EA—杆的拉伸（压缩）刚度。1FddFll1FNl∆l1FN∆l==EAlEAσ即ε=E称为单轴应力状态下的胡克定律4、横向变形的计算1FddFll1单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变ε与横向线应变ε′的绝对值之比为一常数：ε′ν=或ε′=-νεεν-----横向变形因数或泊松比低

3、碳钢（Q235）：E=200~210GPaν=0.24~0.28例2-8一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2，BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。l1=300l2=200F=40kNC'B'CAB解：由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为F=FNl1=300l2=200F=40kNC'B'CAB3FNl140×10N×300mm故∆l==132EA1210×10MPa×400mm=0.143mm3Fl40×10N×200mm∆l=N2=232

4、EA210×10MPa×250mm2=0.152mmF=40kNC'B'CABAC杆的总伸长∆l=∆l+∆l12=0.143+0.152=0.295mm例2-9图示杆系，荷载F=100kN,求结点A的位移∆A。已知两杆均为长度l=2m，直径d=25mm的圆杆，α=30º，杆材(钢)的弹性模量E=210GPa。解：1、求两杆的轴力。BC∑Fx=0FN1=FN212ααy∑F=0yFN1FN22Fcosα=FAαN1αx得FAFFFN1=FN2=2cosα2、由胡克定律得两杆的伸长：BCFlFl∆l=∆l=N1=N21212ααEAEAFl=A2

5、EAcosαF2Fl=2Eπdcosα3、计算节点位移根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。关键步骤——如何确定杆系变形后结点A的位置？BC12αα12AA'ααAA'A12此位置既应该符合两杆A''间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。由变形图即确定结点A12的位移。由几何关系得ααAAAAAA'AAA′=1=212cosαcosαA''即Δ=∆l1=∆l2=2FlAcosαcosα22Eπdcosα代入数值得332(100×10N)(2×10mm)Δ=A322o(210×10MPa)[π×(25mm)]cos30=1.2

6、93mm(↓)此例可以进一步加深对变形和位移两个概念的理解。BC12αα变形杆件几何尺寸的改变，标量AA'位移结点位置的移动，矢量二者间的函数关系与各杆件间的约束有关，实际是变形的几何相容条件。§2-6拉(压)杆内的应变能应变能——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。Fl∆ll1应变能的计算：能量守恒原理弹性体的V=Wε功能原理单位：焦耳J1J=1N⋅m拉(压）杆在线弹性范围内的应变能1外力功：W=F⋅∆l21Fl杆内应变能：V=W=F⋅∆l(∆l=)εEA222FlFl=N=2EA2EAFFFl∆ll1∆l∆l1Fl或Vε=W=F⋅∆l(∆l=

7、)2EA2EA(∆l)=2lFFFl∆ll1∆l∆l应变能密度v——杆件单位体积内的应变能ε两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀分布的。1F⋅∆lFFVε2v==εVAll1l=σε(σ=Eε)1222σEε==2E23应变能密度单位：J/mqlAFN(x)+dFN(x)qFN(x)xldqFN(x)xBB2F(x)dxNFN(x)=qxdVε=2EA2lF(x)dxNV=dV=ε∫ε∫l02EA例2-10求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的位移∆A。已知F=10kN,杆长l=2m

8、，杆径d=25mm,α=30°，材料的弹性模量E=210GPa。F解：F=F=N1N2BC2cosαF2122()lααFN1l2cosαV=2×=ε2EAEA3A