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1、备课大师：免费备课第一站！第六节 空间向量的运算及空间位置关系考点一空间向量的线性运算 [例1] (1)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简－－＝________；②用，，表示，则＝________.(2)向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b的值．[自主解答] (1)①－－＝－(＋)矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。＝－＝＋＝.②＝＝(＋)，∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(2)2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12
2、,13,16)．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。[答案] (1)①②＋＋【互动探究】本例中(1)条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解：＝＋＝－＋(＋)＝－－＋＝－－，由条件知，x＝，y＝－，z＝－.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【方法规律】用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减
3、法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/备课大师：免费备课第一站！如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：茕桢广鳓鯡选块网羈泪。(1)；(2)；(3)＋.解：(1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋AB―→
4、＝a＋c＋b.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋BC―→＝－a＋b＋AD―→＝－a＋b＋c.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(3)∵M是AA1的中点，∵＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c，預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。又＝＋＝＋＝＋＝c＋a.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。∴＋＝＋＝a＋b＋c.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。考点二共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任
5、一点O，有＝(＋＋＋)．[自主解答] http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/备课大师：免费备课第一站！(1)证明：连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.所以E，F，G，H四点共面．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。(2)证明：因为＝－＝－＝(－)＝.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知＝，同理＝.所以＝，即EH∥FG，EH=FG，坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。所以
6、四边EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故＝(＋)＝＋＝×＋＝蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。(＋＋＋)．【方法规律】1．证明空间三点P、A、B共线的方法(1)＝λ(λ∈R)；(2)对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．2．证明空间四点P、M、A、B共面的方法(1)＝x＋y；(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；(4)∥(或∥或∥)．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．(1)判断，，三个向量是否共面；
7、(2)判断点M是否在平面ABC内．解：(1)由题知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－－，∴，，共面．(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.考点三空间向量的数量积及其应用 [例3] 直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/备课大师：免费备课第一站！(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成
8、角的余弦值．[自主解答] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，由题意知，
9、a
10、＝
11、b
12、＝
13、c
14、且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.綾镝鯛
