模糊集理论及其应用第二章

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1、模糊集理论及其应用第二章模糊映射与模糊数1第二章模糊映射与模糊数2.1一元模糊映射及其性质(P3~11)2.2多元模糊映射及其性质(P12~17)2.3模糊数及其运算(P18~29)312182§2.1一元模糊映射及其性质2.1.1一元经典扩展原理定义2.1.1设U,V为两个论域,则由映射f:U→V可诱导出如下两个集值映射(i)f:P(U)→P(V)A→f(A)={f(u)∣uA}.用特征值表示,有f(A)(v)=∨f(u)=vA(u),vV.(2-1-1)(ii)f-1:P(V)→P(U)B→f-1(B)={uU∣f(u)B}.用特征函数表示,有

2、f-1(B)(u)=B(f(u)),uU.(2-1-2)我们称由(2-1-1)确定的集值映射f和由(2-1-2)确定的集值映射f-1为普通映射f:U→V的经典诱导映射;而称式(2-1-1)和式(2-1-2)为一元经典扩展原理;称f(A)为A在f下的像,而f-1(B)称为B在f下的原像,如下图所示目录34例2.1.1设U=V=(－∞,＋∞),映射f:U→Vu→f(u)=sinu.A=[-1,1]P(U),B=[0,1]P(V),则由式(2-1-1)得f(A)=f([-1,1])=[-sin1,sin1]而由式(2-1-2)f-1(B)=f-1([0,1

3、])=[2nπ,(2n+1/2)π],(n=0,±1,±2,…)目录52.1.2一元模糊扩展原理定义2.1.2设U,V为两个论域,f:U→V为普通映射，则由f可诱导出如下两个模糊映射：(i)f:F(U)→F(V)A→f(A)其中vV，有目录6通常称由式(2-1-3)和式(2-1-4)所确定的模糊映射为Zadeh型函数.f(A)称为U上的模糊集A在f下的像,而称f-1(B)为V上的模糊集B在f下的原像.如下图所示7例2.1.2设U={u1,u2,u3,u4,u5},V={a,b,c,d},映射f:U→V定义为(1)当u{u1,u3}时,f(u)=a;(2)

4、当u{u2,u4,u5}时,f(u)=c;又设A=(0.9,0.3,0.8,0.6,0.7)F(U),试求B=f(A),f-1(B).目录8解:因为f-1(a)={u1,u3},f-1(c)={u2,u4,u5},f-1(b)=f-1(d)=,所以由式(2-1-3)得f(A)(a)=∨uf-1(a)A(u)=A(u1)∨A(u3)=0.9∨0.8=0.9.f(A)(b)=0,f(A)(d)=0,f(A)(c)=∨uf-1(c)A(u)=A(u2)∨A(u4)∨A(u5)=0.3∨0.6∨0.7=0.7.从而得B=f(A)=(0.9,0,0.7,0).

5、而由式(2-1-4)得f-1(B)(u1)=B(f(u1))=B(a)=0.9f-1(B)(u2)=B(f(u2))=B(c)=0.7f-1(B)(u3)=B(f(u3))=B(a)=0.9f-1(B)(u4)=B(f(u4))=B(c)=0.7f-1(B)(u5)=B(f(u5))=B(c)=0.79所以f-1(B)=(0.9,0.7,0.9,0.7,0.7).由此可见,Af-1(f(A)).此结论对于任一模糊映射都成立,即定理2.1.1设f:F(U)→F(V)为模糊映射,则(1)Af-1(f(A)),且f为单射时,等号成立;(2)f(f-1(B))B

6、,且f为满射时,等号成立.目录10下面我们利用分解定理给出模糊扩展原理的几种其它形式.定理2.1.2(扩展原理Ⅰ)设U,V为两个论域,f和f-1为由f:U→V诱导的模糊映射,A∈F(U),B∈F(V),则(1)f(A)=∪λ[0,1]f(A);(2)f-1(B)=∪λ[0,1]f-1(B);11定理2.1.3(扩展原理Ⅱ)设U,V为两个论域,f和f-1为由f:U→V诱导的模糊映射,A∈F(U),B∈F(V),则(1)f(A)=∪[0,1]f(As);(2)f-1(B)=∪[0,1]f-1(Bs).目录12定理2.1.4(扩展原理Ⅲ)

7、设U,V为两个论域,f和f-1为由f:U→V诱导的模糊映射,A∈F(U),B∈F(V),则(1)f(A)=∪[0,1]f(HA()),其中HA()满足AsHA()A,[0,1];(2)f-1(B)=∪[0,1]f-1(HB()),其中HB()满足BsHB()B,[0,1].132.1.3模糊映射的基本性质定理2.1.5设f:F(U)→F(V)为模糊映射,{At

8、t∈T}F(U),则(1)f(∪t∈TAt)=∪t∈Tf(At);(2)若A,B∈F(U)且AB,则f(A)f(B);(3)f()=;(4)

9、f(∩t∈TAt)∩t∈Tf(At)