《1.3 平均值不等式》导学案

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1、《1.3平均值不等式》导学案课程目标引航1.掌握定理1和定理2及其证明,并能灵活应用.2.理解定理3和定理4及其证明,并能简单应用.3.会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题.基础知识梳理1.二元均值不等式(1)定理1:对任意实数a,b,有a2+b2≥____(此式当且仅当a=b时取“=”号).(2)定理2:对任意两个正数a,b,有______≥(此式当且仅当a=b时取“=”号).我们称______为正数a与b的算术平均值,______为正数a与b的几何平均值.定理2可叙述为:两个正数的__________不小于它

2、们的__________.【做一做1-1】函数y=+x(x>3)的最小值是(  ).A.5B.4C.3D.2【做一做1-2】“a>b>0”是“ab<”的(  ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.三元均值不等式及其推广(1)定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥____(此式当且仅当a=b=c时取“=”号).(2)定理4:对任意三个正数a,b,c,有≥(此式当且仅当a=b=c时取“=”号).定理4可叙述为:三个正数的__________不小于它们的__

3、________.(3)n个正数的算术几何平均不等式:一般地,对n个正数a1,a2,…,an(n≥2),我们把数值______________,__________分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值,且有______________≥,此式当且仅当____________时取“=”号,即n个正数的算术平均值不小于它们的__________.【做一做2】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1.求证:++≥36.答案:1.(1)2ab (2)   算术平均值 几何平均值【做一做1-1】A 原式变形为y=+x-3+3

4、.∵x>3,∴x-3>0,∴>0.∴y≥2+3=5.当且仅当x-3=,即x=4时等号成立.【做一做1-2】A 当a>b>0时,>=ab成立,当ab<时,不能推出“a>b>0”,故选A.2.(1)3abc (2)算术平均值 几何平均值(3)   a1=a2=…=an 几何平均值【做一做2】分析:本题需变式出现积为定值的情况,而条件中是和为定值x+y+z=1,所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况.证明:++=++=14+++≥14+4+6+12=36.当且仅当=,=,=,且x+y+z=1,即x=,y=,z=时取

5、等号.重点难点突破对定理1和定理2的理解剖析:(1)a2+b2≥2ab与≥成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数.有些同学易忽略这一点,例如:(-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立,而≥不成立.(2)这两个不等式都带有等号,应从两方面理解,“当且仅当……时,取‘=’号”这句话:①当a=b时,取等号,其意义是a=b⇒=;②仅当a=b时,取等号,其意义是=⇒a=b.综合起来,其意义是:a=b是=成立的充要条件.(3)从这两个不等式我们可以得到如下结论:+≥2(ab>0);≤≤≤

6、(a>0,b>0).(4)式子中的a,b可以是数字,也可以是复杂的代数式.典型例题领悟题型一 利用平均值不等式证明不等式【例1】若x>0,y>0,x+y=1,求证:≥9.分析:本题是有条件的证明不等式问题,要巧用“x+y=1”来证明.反思:利用平均值不等式证明不等式时,要注意把握平均值不等式的结构特点,以便灵活地用于解题,另外,式子的灵活变形,进行拆项、凑项,也是常用的方法.题型二 利用平均值不等式求最值【例2】设x≥0,y≥0,x2+=1,求x的最大值.分析:利用x2+=1,将式子进行变形再利用定理进行求解.反思:

7、在解题过程中,要拼凑出和为定值,利用≤(a>0,b>0)来求解最大值.【例3】求函数f(x)=x(5-2x)2的最大值.分析:对于x(5-2x)2无法直接利用平均值不等式求最值,可先拼凑出平均值不等式的形式后再求最值.反思:利用a+b+c≥3应注意不等式成立的条件.在求最值时,除了注意“一正”、“二定”、“三相等”之外,还要掌握配项、凑系数等变形技巧,有时为了便于应用公式,还用换元法,多用于分母中有根式的情况.题型三 利用平均值不等式解决实际问题【例4】如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底面宽为2m的无盖长方

8、体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长为am,高为bm,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60m2,问当a,b各为多长时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)分析:题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解,设为y.由题意y与ab成反比,可设比例系数为k,则y

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