《1.4 不等式的证明三》课件

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1、1．理解反证法和放缩法的概念．2．会用反证法和放缩法证明较简单的不等式．学习目标《1.4不等式的证明(三)》课件放缩法：将所要证明的不等式，通过_____(或_____)分式的分母(或分子)，或通过_____(或_____)被减式(或减式)来证明不等式．几何法：通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法．反证法：反证法是常用的证明方法，它是通过证明命题结论的_____不能成立，来肯定命题结论一定_____，其证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设；肯定结论．预习自测缩小放大放大缩小否定成立1

2、．2．3．提示　存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式．提示　推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等．推导出的矛盾必须是明显的．提示(1)舍掉(或加进)一些项．(2)在分式中放大或缩小分子或分母．(3)应用基本不等式放缩，如a2＋b2≥2ab.自主探究1．哪些命题或不等式适合用反证法证明？2．用反证法证明不等式时，推出的矛盾通常有哪几种类型？3．你能归纳出常用的放缩方法有哪些吗？【例1】典例剖析知识点1放缩法证明不等式【反思感悟】用放缩法证明不等式的过程中

3、，往往采用添项“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式放缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．【例2】知识点2几何法证明不等式【反思感悟】本例中待证的不等式类似于三角形的三边关系，又每个根号内的多项式具有余弦定理的结构形式，注意到这两点，证题思路就会跃然纸上．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.证明假设a、b、c不全是正数，即至少有一个小于或等于0.又abc>0，不妨假设a<0，则bc<0.∵b＋c>－a>0，∴－a(b＋c)>0.∴a(b＋c)<0，又∵bc<0，∴bc＋a(b＋c)<0

4、.即ab＋bc＋ca<0.这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾．∴假设不成立．故a>0，b>0，c>0成立．【例3】知识点3反证法证明不等式【反思感悟】用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一．放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．利用几何法要抓住待证不等式的结构特点充分类比、联想、转化到已知的几何图形、结论、定理上，然后构造

5、几何图形，将要证的不等式转化为图形上的问题予以解决，从而将数与形有机地结合起来．课堂小结1．2．(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面．当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等等．推导出的矛盾必须是明显的．3．用反证法证明不等式要把握三点：设a、b、c∈(0，＋∞)，P＝a＋b

6、－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件解析　必要性是显然成立的．当PQR>0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P>0，Q<0，R<0，则Q＋R＝2c<0，这与c>0矛盾，即充分性也成立．答案C随堂演练1．用反证法证明：如果a，b为正数，则a3＋b3≥a2b＋ab2.证明假设a3＋b3

7、又∵(a－b)2≥0，∴a＋b<0这与a，b都是正数相矛盾，∴假设不成立，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.2．