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1、3.4两个随机变量函数的分布引言问题的一般提法为:(X1,…,Xn)为n维随机变量,Y1,…,Ym都是X1,…,Xn的函数yi=gi(x1,x2,…,xn),i=1,2,···,m； 要求(Y1,…,Ym)的概率分布.设(X,Y)为二维随机变量,讨论(1)X,Y的一个函数Z=g(X,Y)的分布(X,Y)经变换后为一维随机变量),(2)简单地介绍二维向量(X,Y)到二维向量(Z1,Z2)(zi=gi(x,y),i=1,2)变换问题。3.4.1二维离散型随机变量函数的分布我们可以从下面两个例子中总结出一般
2、的方法。例1:设(X,Y)的分布律为XY012345000.010.030.050.070.09 10.010.020.040.050.060.08 20.010.030.050.050.050.06 30.010.020.040.060.060.05求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律。解:(1)V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5。V012345 P00.040.160.280.240.28P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0；P{
3、V=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1} =0.01+0.01+0.02=0.04；同理，可求出其它取值的概率。所以V的分布律为XY012345000.010.030.050.070.09 10.010.020.040.050.060.08 20.010.030.050.050.050.06 30.010.020.040.060.060.05V=0V=1V=2V=3V=4V=5(2)U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P
4、{X>i,Y=i},i=0,1,2,3.U的分布律为V0123 P0.280.300.250.17XY012345000.010.030.050.070.09 10.010.020.040.050.060.08 20.010.030.050.050.050.06 30.010.020.040.060.060.05U=0U=1U=2U=3(3)W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.W的分布律为W012345678 P00.020.060.130.190.240.190.120.05
5、XY012345000.010.030.050.070.09 10.010.020.040.050.060.08 20.010.030.050.050.050.06 30.010.020.040.060.060.05W=0W=1W=2W=3W=4W=5W=6W=7W=8例2:设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p),和b(n2,p)(注意两个二项分布中p是一样的),求Z=X+Y的分布律.解:Z的可能取值为0,1,…,n1+n2，固定k于上述范围内,由独立性有可见，Z～b(n1+n2,p).这个结果
6、很容易推广至多个的情形:若Xi~b(ni,p),i=1,2,…,m,且X1,…,Xm独立,则X1+X2+…+Xm～b(n1+n2+…+nm,p)。直观上，按二项分布的定义,若Xi～b(ni,p),则Xi表示ni次独立重复试验中事件A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率均为p,i=1,2,···,m,而X1,…,Xm独立,可知Y=X1+X2+···+Xm是n1+n2+···+nm次独立试验中A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率保持p,故可得Y～b(n1+n2+…+nm,p)。解：依题意例3若X和Y
7、相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…即Z服从参数为的泊松分布.r=0,1，…3.4.2二维连续型随机变量函数的分布问题：设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y),又Z=g(X,Y)为X与Y的函数,若Z是连续型随机变量,要求Z的概率密度。一般的方法是先求出Z的分布函数Fz(z),然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z).例:设(X,Y)的概率密度为－∞8、布函数FZ(z)。于是可得Z的概率密度为当z≤0时,FZ(z)=0，当z>0时1．Z=X+Y的分布：设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为积分区域如图,化成累次积分,得固定z和y对上式内层积分作变量变换,令x=u-y,得x=z-yxy于是(*)由概率密度的定义,即得Z的概率密度为由x,y的对称性,fZ(z)又可写成:上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别地,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为
