高数总复习题三

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1、第三章总复习题4、设f（x）在[0.1]上连续，在(0.1)内可导，且f（0）=0，对任意的x∈（0.1）有f（x）≠0证明：存在∈（0.1）使。证明：设F（x）=f（x）f（1-x）因为f（x）在[0.1]上连续，在(0.1)内可导F（x）在[0.1]上连续，在(0.1)内可导根据罗尔定理得在[0.1]内必有使=0=0在[0.1]内f（x）≠0此式成立。5、设在上连续，在内可导，且，证明存在一点使得。证明：设，则，因为，F（0）=0，F（）=0且，sin（x）在连续在内可导在此区间上有同样的性质根据罗尔定理得在上必有一点使=0即整理后既得所证结果7设和都是可导函数，且证明：当x>a时证明：

2、构造函数，因为所以又因为x>a得8、求极限1.===-2.利用罗比达法则，得罗比达法则得3.罗比达法则：罗比达法则=04.利用等价无穷小==5.===应用罗比达法则得===6=======7，=应用罗比达法则得=====18.=应用罗比达法则=应用罗比达法则，==应用一次罗比达法则=再使用一次罗比达=12、确定下列函数的单调区间。（1）解：，，即，解得，，解得。所以，该函数的增区间为，减区间为。（2）解：，故函数在整个定义域内单调递增，该函数的定义域为，所以该函数在内单调递增。13求下列函数的极值。（1）解：，，。令，即，因为，故，。当时，，为增；时，，为减。所以，该函数存在极大值，当时，极

3、大值为。（2）解：，，，令，即，，解得。且和时，函数的导数不存在，现列表如下：不存在0不存在增极大值增极大值减极小值增所以，该函数在处存在极大值，极大值为；在处存在极小值，极小值为0。14求数列{}的最大项。解：先求的最大值：，，。令，即，因为，故，。当时，，增；时，，减。所以，当时，函数有最大值，因为数列{}中，取和分别代入原函数，解得和，因为。所以，时，当数列的最大项为。15证明不等式。证明：因为（可以利用两式相减，通分后得到），，所以，。17求在闭区间[0，2]上的最大值和最小值。解：令，，，，令，解得，不在闭区间[0，2]上。该在和处不存在，所以在闭区间[0，2]可能的极值点为。时，

4、；时，时，。所以，在闭区间[0，2]上的最大值和最小值分别是和。19研究曲线的凹凸性与渐近线。解：（1）凹凸性，，。，令，则，即；，则，即；所以，时，函数为凹函数；时，函数为凸函数。（2）渐近线因为，所以为函数的垂直渐近线。因为，所以函数的斜渐近线为。