1.1 数与式的运算

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1、苏州市第一中学数学新课标高初中衔接读本第一讲数与式1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．例1解不等式：＞4．解法一：由，得；由，得；①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若，不等式可变为，即＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．13ABx04CDxP

2、x－1

3、

4、

5、x－3

6、图1．1－1解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离

7、PA

8、，即

9、PA

10、＝

11、x－1

12、；

13、x－3

14、表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离

15、PB

16、，即

17、PB

18、＝

19、x－3

20、．所以，不等式＞4的几何意义即为

21、PA

22、＋

23、PB

24、＞4．由

25、AB

26、＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．x＜0，或x＞4．第39页苏州市第一中学数学新课标高初中衔接读本1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3

27、）三数和平方公式；（4）两数和立方公式；（5）两数差立方公式．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2已知，，求的值．解：．1.1.3．二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为

28、有理化因式．第39页苏州市第一中学数学新课标高初中衔接读本分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式的意义例1将下列式子化为最简二次根式：（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．例2　计算：．解法一：＝　　　　　　　　＝＝　　

29、　　　　　　＝　　　　　　　　＝．解法二：＝　　＝　　＝　　＝　　＝．例3试比较下列各组数的大小：第39页苏州市第一中学数学新课标高初中衔接读本（1）和；（2）和.解：（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又4＞2，∴＋4＞＋2，∴＜.例4　化简：．解：　＝　＝　＝　＝．例5化简：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．例6已知，求的值．第39页苏州市第一中学数学新课标高初中衔接读本　解：　∵，，　　　　∴．1.1.４．分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．　2．繁分式像，这样，

30、分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1　若，求常数的值．解：∵，　　∴解得．例2　（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有．（1）证明：∵，第39页苏州市第一中学数学新课标高初中衔接读本∴（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）证明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整数，∴一定为正数，∴＜．例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．1．2分解因式因式分解的主要方法有：十字相

31、乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）．第39页苏州市第一中学数学新课标高初中衔接读本解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．－ay－byxx图1．2