《2.2.1双曲线及其标准方程》教学案3

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1、《双曲线及标准方程》教学案教学目标:(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．教材分析:1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)2．难点：双曲线的标准方程的推导．(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)3．疑点：双曲线的

2、方程是二次函数关系吗？(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)教学过程:(一)复习提问平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a时，形成的轨迹？(1)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

3、F1F2

4、)的点的轨迹是椭圆．(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数(等于

5、F1F2

6、)的点的轨迹是线段.(3)常数2a

7、F1F2

8、时，无轨迹.(二)双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1．回顾利用两组同心圆描交点画出“与F1，

9、F2两点的距离的和等于12”的椭圆.教师可以先找出满足条件的两个交点，然后引导学生描出剩余的点并连成平滑的曲线.2．利用两组同心圆描交点画出“与F1，F2两点的距离的差等于8”的交点”，再描点画出“与F1，F2两点的距离的差等于8”的交点”；最后用平滑的曲线连起来．教师可以先找出满足条件的两个交点，然后引导学生描出剩余的点并连成平滑的曲线，生成双曲线．3．通过图象概括定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于

10、F1F2

11、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义

12、可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．(三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P={M

13、

14、MF1

15、

16、-

17、MF2

18、

19、=2a}={M

20、MF1

21、-

22、MF2

23、=±2a}．(3)代数方程(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)由双曲线定义，2c＞2a　即c＞a，所以设(b＞0)，代入上式得：这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程

24、中c2=a2-b2．(四)练习与例题(1)已知双曲线的焦点为F1(-5，0)和F2(5，0)，双曲线上的点Ｐ到F1与F2的距离之差的绝对值为6，求双曲线的标准方程.(变题)(2)已知双曲线的焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，且经过点(2，-5).教师讲解给出正确的答案，引导学生处理第二题．(五)小结1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

25、F1F2

26、)的点的轨迹．3．图形(见图2-25)：4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．五、布置作业课后习题，自己写出小节

27、．