现代控制技术-2可控性和可观性

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1、控制原理与接口技术叶春生，材料学院csye@mail.hust.edu.cnTel:027-87557041在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的。系统的可控性和可观性可控性定义：当系

2、统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。有状态方程x’(t)=Ax(t)+Bu(t)其解为：如果有限的时间内0

3、时，给定控制后，如果系统的每一个初始状态x(0-)都可以在有限的时间内通过系统的输出y(t)唯一确定，则称系统完全可观。若只能确定部分初始状态，则称系统部分可观。有状态方程x’(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)其解为：由于在讨论能观性问题时，输入是给定的，上式右侧第二项是确知的，设u(t)=0。y(t)=CeAtx(0-)系统的可控性和可观性根据凯莱－哈米尔顿定理，e-At、eAt可写成有限级数：如果方程有解，等式右侧中间侧矩阵应满秩。秩=n(系统的阶数)系统的可控性和可观性对离散系统xn×1(k+1)=Fn×nxn×1(k)+Gn×mum×1(k)yp×1

4、(k)=Cp×nxn×1(k)可以推出完全可控和可观的充分必要条件为：系统的可控性和可观性状态变量反馈一个系统的性能取决于系统零极点的配置，其时间响应的模态是由其极点的位置所决定的，如果可以对闭环控制系统的极点进行预先进行配置，根据极点的配置设计调节器，则系统的输出会按照我们预先的想象实现。可以证明：如果系统的状态是完全能控的，则系统的极点可任意配置。有状态方程x’(t)=Ax(t)+Bu(t)若使调节器的输出为系统所有状态的负反馈，有u(t)=-Kx(t)x’(t)=(A－BK)x(t)系统的可控性和可观性在前面的推导中，有三个条件应满足：系统完全能控假设给定输入r(t)

5、=0；所有的系统状态x(t)可以得到。于是，方程x’(t)=(A－BK)x(t)就成为状态的零输入响应方程，其解为状态的零输入响应。其响应过程取决于系统的极点配置。对其进行拉普拉斯变换：sX(s)-x(0-)=(A－BK)X(s)控制器被控对象Cx(t)y(t)r(t)u(t)×系统的可控性和可观性sX(s)=(A－BK)X(s)+x(0-)X(s)=(sI-A+BK)-1x(0-)

6、(sI-A+BK)

7、是系统状态运动方程的特征函数，极点可通过K的调整而任意配置。因为(sI-A+BK)-1＝[sI-A+BK]*/

8、(sI-A+BK)

9、系统的可控性和可观性例：若有系统x’(t

10、)=Ax(t)+Bu(t)，其中系统的可控性和可观性解得：s1＝-100，s2＝8.025，s3＝-8.025显然，系统不稳定。如果从系统的时间响应性能考虑将闭环极点配置在s1＝-20s2＝-6+j4.9s3＝-6-j4.9相应的特征方程为：(s1+20)(s2+6+j4.9)(s3+6-j4.9)=0s3+32s2+300s+1200=0采用状态系统反馈后的特征方程为

11、(sI-A+BK)

12、=s3+100(1+k3)s2-(64.4+1600k2)s-1600k1-6400(k3+1)系统的可控性和可观性有100(k3+1)=32-(64.4+1600k2)=300-160

13、0k1-6400(k3+1)=1200因此K=[-2.038-0.22775-0.68]可见，闭环系统的极点可以通过K矩阵来重新配置。但前提条件是所有的状态应该是可以得到的(可观测)。控制规律x’(t)=Ax(t)+Bu(t)Cu(t)x(t)y(t)系统的可控性和可观性同理，设给定r(k)=0，对于离散系统x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k)若使调节器的输出为系统所有状态的负反馈u(k)=-Lx(t)x(k+1)=(F－GL)x(k)控制规律x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)Cu(k)x(k