自由度体系的运动方程

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1、§11-2单自由度体系的运动方程•建立运动方程常用的方法是动静法。根据达朗贝尔原理，将惯性力假想地作用在质点上，在振动的每一瞬时，惯性力与结构受到的动荷载、约束反力等在形式上组成一平衡力系(动平衡)，于是就可以利用静力学中的方法建立运动方程。•动力计算的基本未知量是质点的位移，它是时间t的函数。为了求出动力反应，应先列出求解质点位移的方程。描述体系振动时质点动位移的数学方程，称为体系的运动方程(或振动方程)。一、列动力平衡方程(刚度法)利用平衡条件建立运动方程图11-10在振动的任一时刻t取质点m为隔离体作用在质点上的力有(各力以指

2、向y(t)的正方向为正)：(1)重力W。(2)动力荷载P(t)。图11-10(3)弹性恢复力S(t)。它是由于杆件的弹性变形而施加于质点的力，它的大小与质点的位移成正比，但方向相反，即式中为刚度系数，其意义是使质点沿运动方向产生单位静位移而需在质点上沿运动方向施加的力。(4)惯性力I(t)。其大小为质点质量m与质点加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，即惯性力沿动位移y(t)的正向作用。(5)阻尼力R(t)。关于阻尼力的理论有多种，这里采用计算较简单的粘滞阻尼理论。它假定阻尼力R(t)与质点速度成正比，方向与速度的方向相反，即式中c

3、称为粘滞阻尼系数。考虑质点m的动力平衡ΣY=0，应有即因质点重力W与由其引起的静位移的关系为，于是得出质点振动的运动微分方程为式表明，若建立体系的运动方程时以静平衡位置作为计算位移的起点，则所得动位移的微分方程与重力无关。以后在建立体系的运动方程时，将不标出重力W及其产生的静位移。上述方法是直接利用达朗贝尔原理建立质点m在任一瞬时的动力平衡方程，它要用到结构的刚度系数k11，所以又称为刚度法。二、列位移方程(柔度法)对于不便于计算刚度系数的体系，也可改用结构的柔度系数来建立运动方程。这种方法以整个休系为研究对象，如图所示，在振动的任

4、一时刻t，质点m上除作用有动力荷载P(t)外，还有惯性力I(t)、阻尼力R(t)，不考虑重力，又由于弹性恢复力是内力，故图中未标出。质点m的动位移y(t)看成是由于动力荷载、惯性力和阻尼力共同引起的，根据叠加原理，可得图11-11即即式中为柔度系数，它表示在质点上沿质点运动方向施加单位力引起质点沿运动方向的静位移。柔度系数与刚度系数k11互为倒数.由于建立运动方程要用到体系的柔度系数，所以又称为柔度法。例11-1建立图示体系的运动方程。图中质点m1=2m、m2=m，弹性支座B的刚度系数为k1,忽略阻尼影响和刚性杆的分布质量。解：这是

5、两个质点的单自由度体系。设在振动的任一时刻t刚性杆绕铰A的转角为，顺时针为正，则质点m1、m2的惯性力分别为由将I1(t)、I2(t)和RB的表达式代入上式并整理得运动方程得弹性支座B的反力为例11-2图示体系，各杆EI=常数，忽略杆件的分布质量和阻尼影响，建立其运动方程。图11-13解：图示体系为静定结构，求柔度系数比较方便，宜列位移方程。运动方程为