《2.4函数的奇偶性与周期性》 学案

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1、函数的奇偶性与周期性适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）601.奇偶性的概念2.奇偶性的判断3.奇偶性的应用知识点4.周期性的概念5.确定函数周期的方法6.函数周期性的应用1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．学习目标2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．学习重点函数奇偶性概念和函数奇偶性的判断学习难点函数的奇偶性与函数的概念、单调性、周期性、对称性等的综合应用1/18学习过程一、复习预习1、复习单调性的概念2、复习初中的轴对称和中心对称3、预习奇偶性的概念4、预习奇偶性的应用2/18二、知识

2、讲解考点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，偶函数关于y轴对称都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，奇函数关于原点对称都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数[探究]1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定

3、为0，如f(x)＝x2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．3/18考点2周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4/18三、例题精析【例题1】【题干】判断下列函数的奇偶性x2＋xx>0，21－xlg1－x(1

4、)f(x)＝lg1＋x；(2)f(x)＝2(3)f(x)＝

5、x2－2

6、－2.x－xx<0；5/181－x【解析】(1)由>0⇒－10时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．1－x2>0，lg1－x2lg1

7、－x2(3)由2得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f(x)＝－x2－2－2＝－x2.

8、x－2

9、－2≠0，lg[1－－x2]lg1－x2∵f(－x)＝－2＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．－x6/18【例题2】【题干】(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)f(－1)C．f(－1)

10、3)>f(－5)7/18【答案】A、A【解析】(1)选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)选A函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)f(－1)．选项B中，0>－1，故f(0)f(1)，选项D中f(－3)

11、18【例题3】xlog16【题干】(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝2－1，则f2的值为()5A．－B．－521C．－D．－62(2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数9/18【答案】(1)选C(2)选D3【解析】(1)选C∵－