全体正整数的自然对数构成N上的Hilbert空间

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1、http://www.paper.edu.cn全体正整数的自然对数构成N上的Hilbert空间李汉巨华南师范大学数学科学学院，广州(510631)E-mail：hanjuli@yahoo.com.cn摘要：本文引进自然数集N上的线性空间的概念，并研究了全体正整数的自然对数构成N上的Hilbert空间的几何学，最后给出了此空间理论在数论中的一些应用并提出一些公开问题．关键词：标准正交基，Gram-Schmidt正交化，素数，Hilbert空间中图分类号：O156.1，O177.10．引言自从Euclid证明了存在无穷个素数以来，素数的分布问题成

2、为数论中的核心内容，如素数基本定理的证明及其初等证明，特别是最近BenGreenandTerenceTao[1]证明了存在任意长的等差数列．关于素数的分布，还有一些没解决的重要问题，如孪生素数猜想，歌德巴赫猜想和黎曼猜想．这些都是关于素数分布的研究．但关于素数还有另外一面的研究．素数有一个基本功能，即素数是构成一切整数的基本构件．素数的作用有点类似于Hilbert空间的标准正交基(Hilbert空间中的任何元素都可以用标准正交基线性表出，更详细点，就是可以用其Fourier级数表示)．由算术基本定理，对任意正整数n都有np()np=∏，p∈P

3、其中P表示所有素数构成的集合，np()是自然数（可以等于0）．对上式取自然对数有lnnn=∑()lnpp．p∈P从上式可以看出，一切正整数的自然对数可以由所有素数的自然对数线性表出．从这个意义来看，{lnpp:∈P}有点类似于Banach空间的Schauder基．通过上式，可以在集合{ln:nn∈Z}与集合{()npnp(),(),:"n∈Z}（p表示第n个素数）之间建立一一对+12+n应关系，即可以认为lnnnpnp=((12),(),")．N但{()npnp(),(),:"n∈Z}并不具有代数结构和拓扑结构，即它不可以看成Z的子群12+N

4、或R的子空间．所以必须在H=∈{ln:nnZ}中引进一种新结构，即N上的Hilbert空+间．引进新结构的目的是为了研究素数（作为构成一切正整数的基本构件）的性质．定理4.3表明了S=∈{lnpj:Z}是H的唯一标准正交基，这与通常的Hilbert空间不一样，j+体现了素数的独特性．一般来说，H作为N上的Hilbert空间的性质反映了素数的性质．另一方面，对H的研究比较容易，因为已经有了研究Hilbert空间的基本方法．顺便提出，可以在H上建立Fourier分析，还可以研究H上的有界线性泛函（与数论函数对应），不过这都不是本文的重-1-htt

5、p://www.paper.edu.cn点．本文可以看作是利用泛函分析的方法研究素数的初步尝试．本文是这样安排的．在第1节里引进自然数集N上的线性空间H的概念，这个线性空间与通常线性空间的不同在于不能在H中按照自然的方式定义两个向量的差．在第2节里我们按照自然的方式引进H的内积，即N上的内积空间．有了内积这个概念就可以定义范数，有了范数就可以考虑向量的单位化问题了．值得注意的是，在H中并不是所有非零向量都可以单位化，这与通常赋范线性空间不一样．一个有趣的结果是命题2.3，这个定理说明了H中的单位向量有且仅有{lnpj:∈Z}．在第3节里引进一

6、种形式差，这种差与通j+常的差有很大区别，并证明了N上的内积空间H是完备的（通常意义下的完备），即H是N上的Hilbert空间．在第4节里主要考虑Gram-Schmidt正交化问题，主要定理说明了并不是所有的线性无关向量都可以施行Gram-Schmidt正交化过程．在这一节里还给出了一种适合所有线性无关向量的正交化方法．研究正交化方法的意义在于大整数的分解，如果能找到一种不依赖向量的坐标的正交化方法，就有希望解决大整数分解这个难题，但本文给出正交化方法依赖向量的坐标．虽然Gram-Schmidt正交化方法不依赖向量的坐标，但它的应用需要苛刻的

7、条件，见定理4.2．在第5节里给出了此空间理论在数论中的应用，首先得到一个联系数论的定理，即定理5.1，这个定理说明了xx,0=等价于gcd(,)1nm=．其次是利nm用本文的结论证明了两类数是无理数．最后赋予整数一种几何意义，并给出了一些公开问题．1.自然数集N上的线性空间通常的线性空间是定义在数域F上，由于F对四则运算封闭，因此数域F上的线性空间具有良好的性质．自然数集N上的线性空间的定义与数域F上的线性空间的定义类似，只要简单地用N代替F．但是由于N对减法和除法不封闭，因此N上的线性空间丢失了数域F上的线性空间所具有的一些性质．这必然导

8、致了由N上的线性空间引出来的N上的Hilbert空间与通常的Hilbert空间不一样．定义1.1设H是一个非空集合，N是自然数集，即N={0,1,2,"}，H称为N