电磁场与电磁波08静电场2电位

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1、电磁场与电磁波ElectromagneticFieldsandWaves静电场2——电位谢泽明华南理工大学电子与信息学院Email:eezmxie@scut.edu.cn内容电位导体对静电场的影响电位的帕松方程和拉普拉斯方程电位-静电场的辅助函数静电场无旋性（）告诉我们，电场可用一个标量函数的梯度表示φ称为电场的位函数（电位）。电场为矢量，对应三个标量函数，而电位φ为一标量函数。显然，计算电位更容易。借助电位求电场的方法，称为辅助函数法，广泛应用于电磁场理论。从静电场公式不能看出，点电荷的电位为为满足的任意标量

2、函数。直接从不能唯一确定电位。实际中，常通过选取电位参考点消除不唯一性。体分布的电位面分布的电位线分布的电位xPzyr0【电压】两点间电场的线积分可见，两点间的电压等于两点的电位差，且与积分路径无关；如果选取某点Q为电位参考点（电位零点），那么任一场点P的电位就等于该点与参考点之间的电位差：参考点选取具有任意性。实际中，常选择无限远、大地表面或接地导体为电位参考点。电压和电位的物理意义电压为把单位正的点电荷从一点到另一点电场力做的功电位是把单位正的点电荷从场点移到参考点电场力做的功【电力线】两点间电场的线积分电

3、力线方程电力线的特点：始于正电荷，终于负电荷；线的疏密对应电场的强弱；垂直于等位面；互不相交。正电荷负电荷点电荷与不接地导体的电场带电平行板问题(1)电力线是不是点电荷在电场中的运动轨迹（设此点电荷电场力外不受其它力的作用）？(2)两条电力线能否相切？同一条电力线上任意两点的电位能否相等？(3)不同电位的两个等位面能否相交或相切？同一等位面任意两点的场强是否一定相等？场强在等位面上的切向分量是否一定等于0？电位在带电面两侧会不会突变？【例5-1】在真空中xoy平面上有一半径为a的圆形线电

4、荷，其线密度为，求轴线上离圆心z处点P(0,0,z)的电位和电场强度。解：在圆上取一线元，其上所带电荷为由于电荷分布的对称性，该处的电场强度仅有z方向的分量，即应用圆柱坐标系，P点电位为解：取一线元　，其上所带电荷量为，源点到场点P的距离为【例5-2】求电荷密度，半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。利用前例中圆形线电荷在轴线上产生的电位的公式，将dr很小形成的圆环看成是圆形线电荷，其相应的线电荷密度　满足：解：在圆盘上取一半径为r、宽为dr的圆环，由于dr很小，源点到场点P的距离即为，并代入a=r，则同样可

5、得整个圆盘上的电荷在P点的电位（z>0）当时，相当与无限大带电荷平面在其一侧（z>0）附近产生的场：可见，只要z有限，则E是均匀的，且与z无关。应用圆柱坐标系中的梯度表达式，可得到电场强度为静电场中的导体导体中带有可以自由移动的电荷（自由电子、自由离子）；有外静电场时，导体中的自由电荷受电场力作用移动，积累在导体表面；积累在表面的电荷产生附加电场，在导体内与外电场相抵消；达到平衡后，导体内电场为零，电荷不再移动，称为静电平衡状态。【静电平衡过程】均匀静电场中导体球的电场－－＋＋静电场中不接地导体的电场＋＋＋－－

6、－静电场中接地导体的电场－－－－【导体的静电特性】静电平衡后，导体内电场强度为0；静电平衡后，导体是等位体，表面为等位面；静电平衡后，导体表面的电场强度垂直于导体表面；静电平衡后，导体的电荷只分布在表面。静电场中的导体例:真空中有电荷以体密度均匀分布于一半径为R的球中，如图所示。求球内、外的电场强度及电位。应用高斯通量定理，有解：（1）求电场强度。以球心为球坐标系原点，因为分布仅与球坐标系变量r有关，故电场强度也仅是r的函数，且方向应是ar方向。选某r半径球面为闭合面S（也称高斯面），则在此球面上，如果用球

7、内全部电荷Q来表示，以代入可得球内任意点的电位为当r=R时为球面电位（2）求电位。选无穷远处为电位参考点，则球外任一点的电位为例：两无限大平行板电极，板间距离为d，电压为U0，并充满密度为0x/d的体电荷。求板间电场强度和极板面上的电荷面密度。解因为(x)=0x/d，仅是x的函数，故可设电场强度为E=axE(x),也仅是x的函数。再设x=0处电位为0，极板上面电荷密度为s(0)；在x=d处，电位为U0，极板面电荷密度为s(d)。显然，由于两极板面无限大，板间电场为均匀场，故s(0)、s(d)均为常

8、数。作一柱形闭合面，底面积为S，下底在x=0的极板内，上底在x处，侧柱面与ax平行。在此闭合面上应用高斯通量定理，有由：又因为：即：若将闭面S在x处的上底面放到x>d的极板内再用高斯通量定理，则有可得即：代入E(x)表达式，有故：电位的帕松方程和拉普拉斯方程帕松方程和拉普拉斯方程是电位满足的微分方程。帕松方程若无源，则演化为拉普拉斯方程Possion方程Laplace方程【拉普拉斯算