2.1.2指数函数及其性质_第3课时

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1、第3课时指数函数及其性质（3）导入新课我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对y=ax与y=ax+m(a>0,m∈R)有着怎样的关系呢?在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂课研究的内容新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质?(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?(3)对复合函数,如何证明函数的

2、单调性?(4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法?问题解答：(1)指数函数的图象和性质一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a>10

3、=0时,y=1(4)x>0时,y>1;x<0时,00时,01（5）在R上是增函数（5）在R上是减函数(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形.即求f（x2）－f（x1）,通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.③定号.根据给定的区间和x2－x1的符号确定f（x2）－f（x1）的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.④判断.根据单调性定义作出结论.(3)对于复合函

4、数y=f(g(x))可以总结为:当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f(g(x))是增函数;当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时,复合函数y=f(g(x))是减函数;又简称为口诀“同增异减”.(4)判断函数的奇偶性:一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f(x)与f(-x)的关系,最后确定函数的奇偶性;二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.应用示例例1在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系

5、.(1)y=2x+1与y=2x+2;(2)y=2x-1与y=2x-2..解：(1)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12.x-3-2-101232x0.1250.250.512482x+10.250.51248162x+20.512481632图2-1-2-12比较可知函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象.(2)列出函数数据表作

6、出图象如图2-1-2-13x-3-2-101232x0.1250.250.512482x-10.6250.1250.250.51242x-20.31250.6250.1250.250.512图2-1-2-13比较可知函数y=2x-1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为：将指数函数y=2x的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.类似地,我们得到y=ax与y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之间的关系:y=

7、ax+m(a>0,m∈R)的图象可以由y=ax的图象变化而来.当m>0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;当m<0时,y=ax的图象向右移动

8、m

9、个单位得到y=ax+m的图象.上述规律也简称为“左加右减”.变式训练为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象()A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度答案：B例2已知定义

10、域为R的函数f(x)=是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.解：（1）因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即=0b=1,所以f(x)=;又由f（1）=-f（-1）知=a=2.（2）由（1）知f(x)=.又由题设条件得<0,即<0.整理得>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0,上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k