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1、德州学院数学系点集拓扑教案§5.3 Lindeloff空间 本节重点: Lindeloff空间的定义；Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．一Lindeloff空间的概念 定义5.3.1 设A是一个集族，B是一个集合．如果=B，则称集族A是集合B的一个覆盖，并且当A是可数族或有限族时，分别称集族A是集合B的一个可数覆盖和有限覆盖． 设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族A1也是集合B的覆盖，则称集族A1是覆盖
2、A（关于集合B）的一个子覆盖． 设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖． 在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点
3、限制． 定义5.3.2 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间． 由定义可知，任何平庸空间是Lindeloff空间；含可数多个点的离散空间是Lindeloff空间；包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．110德州学院数学系点集拓扑教案例5.3.1，包含着不可数多个点的可数补空间X是一个Lindeloff空间，且X的每个子空间也是Linde
4、loff空间．(例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．)证明设A是X的任意一个开覆盖．任意在A中取定一个非空集合A．对于每一个x∈A′，在A中选取一个Ax使得x∈Ax，由于A′是可数集，所以A的子族{Ax∈A
5、x∈Ax，x∈A′}∪{A}也是可数的，易见它也覆盖X．所以包含着不可数多个点的可数补空间X是Lindeloff空间.设YX，下面证Y也是Lindefoff空间．设A1是Y的任意一个开覆盖，则存在X的开集族A使A1=A
6、Y ．任取一个A∈A，则A∪Y′是X的一个开集（
7、因为A∪Y′的补可数），于是A∪{A∪Y′}是X的一个开覆盖．由于X是Lindefoff空间，所以在A∪{A∪Y′}中有一个可数子集族B是X的覆盖，不妨设B＝{A1,A2,…,An,…A∪Y′}，其中Ai,A∈A，i=1,2,…（注A∪Y′若不在其内，则加进去也无妨），则B
8、Y＝{A1∩Y,A2∩Y,…,An∩Y,…A∩Y}A
9、Y=A1，即B
10、Y 是A1的可数子覆盖．故Y是Lindefoff空间．二Lindefoff性与第二可数性的关系定理5.3.l[Lindeloff定理] 任何一个满足第二可数性公理的空间都
11、是Lindeloff空间．（即A2空间一定是Lindeloff空间） 证明 设拓扑空间X是A2空间，B是它的一个可数基． 设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A∈A，由于A是一个开集，所以存在BAB，使得A=，令B1=,由于B1是B的一个子族，所以是一个可数族．并且110德州学院数学系点集拓扑教案 故B1也是X的一个覆盖．如果B∈B1，则存在A∈A使得B∈，（因为A=）因此BA．于是对于每一个B∈B1；我们可以选定某一个AB∈A使得BAB，记A1={AB
12、B∈B1}，它是A的一个子族
13、，并且,所以A1是A的一个子覆盖．此外由于B1是可数的，所以A1也是可数的．于是开覆盖A有一个可数子覆盖A1．这证明X是一个Lindefoff空间． 推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．(即A2空间的子空间仍然是A2空间)特别，n维欧氏空间Rn的每一个子空间都是Lindeloff空间.证明由定理5.1.5及上面定理即可得第一句结论；第二句结论成立是因为Rn是A2空间.说明⑴定理5.3.1的逆命题不成立.因为包含着不可数多个点的可数补空间X，由例5.3.1知它是Li
14、ndeloff的，由例5.1.1知X不是A1空间，从而由定理5.1.3知X也不是A2空间.即：Lindeloff空间A2空间.⑵推论5.3.2的逆命题都不成立．因为由例5.3.1知上述空间X的每个子空间都是Lindeloff空间，但X不是A2空间.⑶X是Lindeloff空间A1空间；（即⑴中所说）X是A1空间X是Lindeloff空间.（因为任何一个离散空间是是A1空间，但含不可数多
