立体几何第一讲线面关系

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1、立体几何第一课一、知识点1.表示方法在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上；Aα—点A不在平面α内；b)lα—直线l在平面α内；c)aα—直线a不在平面α内；d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点；f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点

2、，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外)相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点平行公理：平行于

3、同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.4.异面直线的距离和角度（直线与直线所成角）（向量与向量所成角两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直..5.线面平行与垂直的判定、性质定理(1)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.(2)直线与平面平行的性质5定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交

4、线与该直线平行。(3)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.(4)直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。（5）三垂线定理若⊥，⊥，得⊥二、例题1、已知四边形是空间四边形，分别是边的中点（1）求证：EFGH是平行四边形（2）若BD=，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。CDGABEFHAHGFEDCB2、空间四边形ABCD的对棱AD、BC的截面分别交AB、AC、CD、B

5、D于E、F、G、H。求证：四边形EFGH为平行四边形。3、如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。4、已知中,面,,求证：面．5、面体中，分别为的中点，且，，求证：平面A1ED1C1B1DCBA6、在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．．5三、练习1、如图1，已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1和面ABCD的中心，证明PQ∥平面BCC1B1。CDD1A1B1C1BAQP图12、知正方体，是底对角线的交点.求证：(１)C1O∥面；(2)面．3、是所在平面外一点，平面，是的中点，是

6、上的点，（1）求证：；（2）当，时，求的长。4、在三棱锥中，，，，．求证：；ACBP5答案例题1证明：在中，∵分别是的中点∴同理，∴∴四边形是平行四边形。(2)90°30°例题2证明：∵AD∥平面EFGH，AD平面ACD，平面ACD平面EFGH=FG,∴AD∥FG同理，AD∥EH,∴FG∥EH.同理可证EF∥HG∴四边形EFGH为平行四边形例题3证明：连接交于，连接，∵为的中点，为的中点∴为三角形的中位线∴，在平面内，在平面外∴平面。例题4°又面面又面例题5证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，又∴，∴在中，∴，∴，又，即，∴平面例题6取AB的中点Ｆ，连结C

7、F，DF．∵，∴．∵，∴．又，∴平面CDF．∵平面CDF，∴．又，，∴平面ABE，．∵，，，∴平面BCD练习1证法一：如图2，取B1B中点E，BC中点F，连接PE、QF、EF，∵在△A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，∴PEA1B1。同理QFAB.又A1B1AB.，∴PEQF∴四边形PEFQ是平行四边形。∴PQ∥EF。又平面BCC1B1，EF平面BCC1B15∴，PQ∥平面BCC1B1。证法二：如图3，连接AB1、B1C，∵△AB1C中，P、Q分别是AB1和AC的中点，∴PQ∥B1C又平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1∴，PQ∥平面BCC1B1

8、。练习2证明：（1）连结