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1、高等代数(Ⅱ)试题一一.单项选择题(2分5=10分)1．设V是实数域上n阶矩阵构成的向量空间,则V的维数是()A.nB.n２C.D.2．下列变换中,哪一个是向量空间R3(R是实数域)的线性变换（ ）A.(x1,x2,x3)(x,x2,x3)B.(x1,x2,x3)(x,x,x3)C.(x1,x2,x3)(x,x,x)D.(x1,x2,x3)(x1+x2,x2+x3,x3+x1)3.四个三维向量构成的向量组 （）A.秩为3B.秩为4C.线性无关D.线性相关.4.若n阶矩阵A的行列式不为
2、零,下列数中哪一个一定不是A的特征值(）A.0B.1C.2D.35.向量组（）线性相关的充分必要条件是（）A.至少有一个零向量B.中至少有两个向量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.中任一个部分组都线性相关.二.多项选择题(3分4=12分)1．设A是n（n>1）阶可逆矩阵,下列结论中正确的是()A.
3、A
4、≠0B.秩A=nC.秩A5、1,x2,0)C.(x1,x2,x3)(x1,x2,x)D.(x1,x2,x3)(x3,x2,x1)E.(x1,x2,x3)(x,x,x)3．设A是n阶正交矩阵,下列结论中正确的是()A.
6、A
7、0B.
8、A
9、>0C.
10、A
11、=1D.
12、A
13、=一1E.
14、A
15、=1或一14．设是向量空间V的可逆线性变换,{1,2,…，n}是V的基，A是关于这个基的矩阵,下列结论中正确的是()A.{(1),(2),…，(n)}也是V的基B.{(1),(2),…，(n)}不一定是V的基C.A是可逆矩阵D.A-1是-1关于基{1,2,…，n}的矩阵E
16、.AT是-1关于基{1,2,…，n}的矩阵三、判断题（你认为命题正确时,在题干后的括号内画“√”，否则画“×”,2分5=10分）41.设V是有限维向量空间,则V的基不唯一.()2.设是向量空间V的线性变换,则(V)一定是V的平凡子空间.()3.设R3[x](R是实数域)是次数不超过三的多项式连同零多项式构成的向量空间,则{x,x2,x3}是R3[x]的一个基.()4.若两个n阶矩阵A与B有完全相同的特征根,则A与B相似.()5.任一n(n>1)维欧氏空间一定有标准正交基.()四、计算题（7分4=28分）1.求向量组1
17、=(1,2,1),2=(2,1,3)，3=(3,0,4),4=(5,1,6)的一个极大线性无关组.并把其余向量用该极大线性无关组线性表示.2.求矩阵的特征值及相应地特征向量..3.求M2(F)中元素A=在基1=,2=,3=,4=下的坐标.4.设｛1,2,3,4｝是向量空间V的一个基,且V的线性变换在这个基下的矩阵是.求(V)与Ker.五、证明题（10分4=40分）1．设是向量空间V的线性变换,1,2,…，m是V中一组线性相关的向量,证明:(1),(2),…，(m)也线性相关.2.设是矩阵A的特征值，且,与是相应地特征
18、向量,证明：,线性无关.3.设是n维向量空间V的线性变换,且是单射,证明,是V的可逆线性变换.4.设A是n阶正交矩阵,且
19、A
20、=—1,证明：—1一定是A的一个特征值.高等代数(Ⅱ)试题一参考答案及评分标准一．单项选择题（每小题２分，共1０分）．１．B ２．D ３．Ｄ ４．A ５．C 二．多项选择题（每小题3分，共12分）１．A,B,D,E ２．A,B,D ３．A,E４．A,C,D4一．判断题（每小题2分，共1０分）1.√2.×3.×4.×5.√四.计算题(每小题7分，共28分）1.解以1,2,3,4为列作
21、矩阵A=［２分］对A作行初等变换A==B［5分］可知B的列向量与A的列向量有相同的线性关系.于是1,2,3是一个极大的线性无关组,且4=1+(-2)2+23［7分］2.解 ｜｜＝ ［３分］ ＝1，＝１,3＝3.当＝1时，得齐次方程组 ｘ１－2ｘ２+ｘ３＝０分别令ｘ１=1,ｘ２＝０;ｘ１=0,ｘ２＝1.得＝（2,1,0）Ｔ,2＝（-1,0,1）Ｔ,所有特征向量是ｋ１+ｋ22(ｋ１,ｋ2不同时为零） ［5分］同理可求得3＝3的特征向量ｋ33(ｋ3不为零),3=(
22、0,1,1).［7分］3.解设A=［2分］由矩阵的加法和数与矩阵的乘法知k2+k3+k4=0k1+k3+k4=1k1+k2+k4=2k1+k2+k4=－3［4分］故k1=0,k2=－1,k3=－2,k4=3,因此,A再基｛1,2,3,4｝下的坐标是(0,―1,―2,3).［7分］4.解先求Ker.设Ker,且的坐标是(x1,x2,x3,x4),
