空间向量的正交分解及其坐标表2

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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo复习：在空间中，能得出类似的结论:任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向

2、量，二者是相关联的不同概念。xyzOQP由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示xyzOA(x,y,z)e1e2e3空间向量的直角坐标：给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(

3、x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ空间向量基本定理的考查例1变式空间四边形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,设,用向量表示CBMNOA小结：1、选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求；2、求解

4、时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求.空间向量运算的坐标表示,则设一、向量的直角坐标运算若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.二、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、，则（2）空间两

5、点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：（1）当　　　　　　时，　　　同向；（2）当　　　　　　时，　　　反向；（3）当　　　　　　时，　　　。例3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求：BE1与DF1所成角的余弦值.【应用举例】(1)建立直角坐标系，(2)把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。例3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，【应用举例】变式1:E是A1B1的一个四等分点，求证：AE∥DF1.E所以AE∥DF1.变式2:F是AA1的一个四等分

6、点，求证：BF⊥DF1.F即BF⊥DF1.例3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，【应用举例】G变式3:G是BB1的一个四等分点，H为AA1上的一点，若GH⊥DF1，试确定H点的位置.H即当H为AA1的中点时，能使GH⊥DF1.证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE今天你学到了什么呢？1.基本知识：（1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示；（2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标表示。2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题(1)建立直角坐标系，

7、(2)把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。【课堂小结】