锐角三角函数定义及性质

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1、25.2.1锐角三角函数定义及性质问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.ABC思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？情境探究根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即ABC在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水

2、管.在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.?思考ABC50m30mB'C'即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABC综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？结论问题当∠A＝30°

3、时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.探索ABCA'B'C'任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝，那么与有什么关系．你能解释一下吗？由于∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’＝所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’驶向胜利的彼岸这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．探索驶向胜利的彼岸如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，

4、即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c正弦注意sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”.驶向胜利的彼岸例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34ABC135(1)(2)试着完成图（2）驶向胜利的彼岸小试牛刀1.再Rt△ＡＣＢ，Rt△ＤＥＦ中，∠Ｂ＝300，　　　∠Ｄ＝450，∠Ｃ＝900，∠Ｆ＝900

5、，若ＡＢ＝ＤＥ＝２，（１）求∠Ｂ的对边与斜边的比值；（２）求∠Ａ的对边与斜边的比值；（３）求∠Ｄ的对边与斜边的比值．ＡＣＢＤＥＦ小试牛刀２.在Rt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９００，求sinA和sinB得值.ＢＡＣ５13ABC34(1)（2）练一练3.已知Rt△ABC中，∠Ｃ＝900.（1）若AC=4,AB=5,求sinA与sinB;（2）若AC=5,AB=12,求sinA与sinB;（3）若BC=m,AC=n,求sinB.4.如图，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面积.BAC55小明在打网球时，击出一个直线球恰好擦网而过，且刚好落在底线上，已知网球

6、场的底线到网的距离（OA）是12米，网高（AC）是1米，击球高度（BD）是2米，你能求出球飞行的距离吗？（精确到0.01米）想一想若小明第二次击的直线球仍擦网而过且刚好落在底线上，击球高度（B1D1）是3米这时球飞行的距离是多少米？球的飞行直线与地面的夹角有变化吗？击球高度与球飞行的距离比值有变化吗？oABCD12m1m2mB1D13m新知探索:1.你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？2.当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比，∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由.方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；方法二：根据相

7、似三角形的性质来说明.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即驶向胜利的彼岸★余切的定义:正切的倒数叫做∠A的余切,即在Rt△ABC中,锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即cotA=驶向胜利的彼岸注意cosA，tanA,cotA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；cosA，tanA,cotA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠

8、A的邻边与斜边的比、对边