余弦函数的图像与性质-教学设计

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1、余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx的图像向平移个单位长度得到(如图). (2)五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为. 问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为.问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称

2、轴和对称中心(1)周期T=;(2)偶函数;(3)对称轴为(4)对称中心为. 问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当ωx+φ=+kπ时,即为对称中心;(2)当ωx+φ=kπ时,即为对称轴;(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为11区间.(注:以上k∈Z)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出y＝cosx(x∈R)的简图，并根据图像写出：(1)y≥时x的集合；(2)－≤y≤时x的集合．解：用“五点法”作出y＝cosx的简图(

3、1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为.当x∈R时，若y≥，则x的集合为(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，k∈Z，，k∈Z点和，k∈Z，)，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－≤y≤时x的集合为：.规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性．11跟踪演练1　求函数f(x)＝lgcosx＋的定义域．解　由题意，x满足不等式组，即，作出y＝cosx的图像．结合图像可得：x∈∪∪.要点二：余弦函数单调性

4、的应用例2求函数y＝log(cos2x)的增区间．解：由题意得cos2x>0且y＝cos2x递减．∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z.∴kπ139°>136

5、°>0°，∴cos139°cos221°.(2)cos＝cosπ＝cos＝cosπ，cos＝cosπ＝cos＝cos.11∵0<<π<π，且y＝cosx在[0，π]上递减，∴cosπ

6、即≤y≤3.∴函数y＝的值域为.规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：①sinx，cosx的有界性；②sinx，cosx的单调性；③化为sinx＝f(y)或cosx＝f(y)利用

7、f(y)

8、≤1来确定；④通过换元转化为二次函数．11跟踪演练3求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．(提示：sin2α＋cos2α＝1)解：y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sinx－2)2＋5.∴当sinx＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；当sinx＝－1时，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝

9、－4.所以ymax＝4，此时x的取值集合是；ymin＝－4，此时x的取值集合是.一、选择题1．函数y＝cosx(0≤x≤)的值域是(　　)A．[－1,1]　B．[，1]C．[0，]　D．[－1,0][答案]　B[解析]　∵函数y＝cosx在[0，]上是减函数，∴函数的值域为[cos，cos0]，即[，1]．2．函数y＝cos2x－3cosx＋2的最小值为(　　)A．2　B．0C．－　D．6[答案]　B[解析]　y＝2－，当cosx＝1时，y最小