《郑忠喜量子力学》PPT课件

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1、QuantumMechanics郑忠喜中北大学QuantumMechanics电话：13503503927E-mail：zbdx@yahoo.cn目录第一章量子力学的诞生第二章波函数和Schrodinger方程第三章一维定态问题第四章量子力学中的力学量第五章态和力学量表象第六章近似方法第七章量子跃迁第八章自旋与全同粒子§1一维无限深势阱求解S—方程分四步：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数-a0aV(x)IIIIII第三章一维定态问题（1）列出各势域的S—方程方程可简化为：-a0aV(x)IIIIII（3）使用波函数标准条件-a

2、0aV(x)IIIIII(1)+(2)(2)-(1)两种情况：由（4）式讨论状态不存在描写同一状态所以n只取正整数，即于是：或于是波函数：类似I中关于n=m的讨论可知：综合I、II结果，最后得：能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ=0。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。作业周世勋：《量子力学教程》第二章2.3、2.4、2.8（一）引言（1）何谓谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。在经典力学中，当质量为的粒子，受弹性力

3、F=-kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为x=Asin(ωt+δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。若取V0=0，即平衡位置处于势V=0点，则§2线性谐振子（2）为什么研究线性谐振子自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在x=a处，V有一极小值V0。在x=a附近势可以展开成泰勒级

4、数：axV(x)0V0取新坐标原点为(a,V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。（1）方程的建立线性谐振子的Hamilton量：则Schrodinger方程可写为：为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，此式是一变系数二阶常微分方程（二）线性谐振子（2）求解为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当ξ→±∞时波函数ψ的行为。在此情况下，λ<<ξ2，于是方程变为：其解为：ψ∞=exp[±ξ2/2]，1.渐近解欲验证解的正确性，可将其代回方程，波函数有限性条件：当ξ→±∞时，应有c2=0，因整个波函数尚未归一化，所以c1可以令其

5、等于1。最后渐近波函数为：ξ2>>±1其中H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：①当ξ有限时，H(ξ)有限；②当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→0。将ψ(ξ)表达式代入方程得关于待求函数H(ξ)所满足的方程：2.H(ξ)满足的方程3.级数解我们以级数形式来求解。为此令：该式对任意ξ都成立，故ξ同次幂前的系数均应为零，即：bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0从而导出系数bk的递推公式：为了满足波函数有限性要求，幂级数H(ξ)必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求H(ξ)从某一项（比如第n项）起以后各项的系数均为零，即bn≠0,bn

6、+2=0.代入递推关系)得：（3）厄密多项式厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：可导出厄密多项式的递推关系：应用实例例：已知H0=1,H1=2ξ，则根据上述递推关系得出：H2=2ξH1-2nH0=4ξ2-2下面给出前几个厄密多项式具体表达式：H0=1H2=4ξ2-2H4=16ξ4-48ξ2+12H1=2ξH3=8ξ3-12ξH5=32ξ5-160ξ3+120ξ基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系：（4）讨论1.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量E0={1/2}ħω≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒

7、子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。2.波函数以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在

8、αx

9、<1范围中运动。这是因为振子在这一点(

10、αx

11、=1)处，其势能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}ħω=E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。n=0n=1n=2然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：ω0(ξ)=

12、ψ0(ξ)

13、2==N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明