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《高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介2球坐标系学案含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．球坐标系球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记
2、OP
3、＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
4、 将点的球坐标化为直角坐标 已知点P的球坐标为，求它的直角坐标． 直接套用变换公式求解． 由变换公式，得x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2.y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2.z＝rcosφ＝4cos＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2)．已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．求下列各点的直角坐标：(1)M；(2)N.解：(1)由变换公式，得6x＝rsinφcosθ＝2sincos＝，y＝rsinφsinθ＝2sinsin＝，z＝rcosφ＝2cos＝.∴它的直角坐标是.(2)由变换公式，得x＝rsinφcos
5、θ＝2sincos＝－.y＝rsinφsinθ＝2sinsin＝－.z＝rcosφ＝2cos＝－.∴它的直角坐标为.2．将点M的球坐标(π，π，π)化成直角坐标．解：∵(r，φ，θ)＝(π，π，π)，∴x＝rsinφcosθ＝0，y＝rsinφsinθ＝0，z＝rcosφ＝－π.∴点M的直角坐标为(0,0，－π). 将点的直角坐标化为球坐标 设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标． 直接套用坐标变换公式求解． 由坐标变换公式，可得r＝＝＝2.由rcosφ＝z＝，得cosφ＝＝，φ＝.又tanθ＝＝1，θ＝(M在第一象限)，从而知M点的球坐标为.6由直
6、角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．3．求下列各点的球坐标：(1)M(1，，2)；(2)N(－1,1，－)．解：(1)r＝＝＝2，由z＝rcosφ，得cosφ＝＝＝.∴φ＝，又tanθ＝＝＝，x>0，y>0，∴θ＝，∴它的球坐标为.(2)由变换公式，得r＝＝＝2.由z＝rcosφ，得cosφ＝＝－.∴φ＝.又tanθ＝＝＝－1，x＜0，y＞0，∴θ＝.∴它的球
7、坐标为.课时跟踪检测(六)一、选择题61．已知一个点的球坐标为，则它的方位角为( )A.B.C.D.解析：选A 由球坐标的定义可知选A.2．设点M的柱坐标为，则它的球坐标为( )A.B.C.D.解析：选B 设点M的直角坐标为(x，y，z)，故设点M的球坐标为(ρ，φ，θ)．则ρ＝＝2，由＝2cosφ知φ＝.又tanθ＝＝1，故θ＝，故点M的球坐标为.3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为( )A．(1,0,0)B．(－1，－1,0)C．(0，－1,0)D．(－1,0,0)解析：选D x＝rsinφcosθ＝1·sin·cosπ＝－1，y＝rsinφsinθ＝1·sin·
8、sinπ＝0，z＝rcosφ＝1·cos＝0.∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )A.B.C.D.解析：选B 由坐标变换公式，得6r＝＝2，cosφ＝＝，∴φ＝.∵tanθ＝＝＝1，∴θ＝.∴M的球坐标为.二、填空题5．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案：(－2,2,2) 6．在球坐标系中，方程r＝1表示________．解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案：球心在原点，半径为1的球面7．在球坐标系中A和B的
9、距离为________．解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)，B(－1,1，－)．∴
10、AB
11、＝＝2.答案：2三、解答题8．将下列各点的球坐标化为直角坐标．(1)；(2).解：(1)x＝4sincos＝2，y＝4sinsin＝－2，z＝4cos＝0，∴它的直角坐标为(2，－2，0)．(2)x＝8sincosπ＝－4，y＝8sinsinπ＝0，z＝8cos＝－4，∴它的直角坐标为(－4，0，－4)．69．如图，请你说出点M的球坐标．解：由球坐标的定义，记
12、OM
13、＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Ox
