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时间:2019-06-30
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1、雪花曲线中的科克数学问题()将正三角形(1)的每边三等分,并以中间的那一条线段为以底边向形外作等边三角形,然后去掉底边,得到图(2);()将图(2)的每边三等分,重复上述的作图方法,得到图(3);()再按上述方法无限多次继续作下去,所得的曲线称为科克雪花曲线(kochsnowflake)·····(1)(2)(3)(4)(5)设图(1)中的等边三角形的边长为1,并分别将图(1)、(2)、(3)···中的图形依次记作、、、···。(1)求中的边长;(2)求中每条边的长度;(3)求的周长;(4)求所围成的面积;(5)求周长和面积的极
2、限。解:从科克雪花曲线的生成过程不难发现:(1)因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段,所以的递推公式为,,其通项公式为(2)因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的,所以的递推公式为。其通项公式为。(1)因为,所以的通项公式为。(2)为了便于表述,将图形(1)中的正三角形的面积记作则。当由生成时,在的每一条边上多了一个面积为的小等边三角形,这些小等边三角形的面积之和为,其中的面积为。于是得到科克雪花曲线面积的递推公式:···.把代入上式,经简化得容易验证:等。(1)由周长和面积的表达式可知。当n无限增大时,
3、也随之无限增大。因为,所以注释:科克雪花曲线图形与高中二年级的数列知识联系起来,不仅运用了数学数列的递推公式,还涉及到一定的递推思想,找到一定的规律并解出问题。此外,科克雪花曲线图形与新兴的分形几何有一定的联系,分形几何中最典型的例子就是“英吉利亚海岸线有多长?”的提出,随之,分形几何这个名词诞生。根据分形几何的原理,用有足够精度的尺子去度量海岸线的长度,那么只要尺子的精度足够小,海岸线的周长就可以无限的长。也就是说,海岸线的面积有上限,而它的周长却可以无限的长。这里,科克雪花曲线图形就是这样,将其边长无限的分割下去,那么它的面
4、积有限,而周长却是无限的。但可以根据数列极限求出其和函数。当我们对它无限分割的时候,这时整个图形的边缘看起来就好像是雪花的形状,这也就是它为什么叫做雪花曲线图形的原因。这个数学问题有趣之处在于它不仅代表了一门学科的发展,而且,还从数学图形中得到了优美的雪花图形,这在数学问题中是很少见的。
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