《函数与极限》PPT课件(I)

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1、1第1章函数与极限引言2初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.一、什么是高等数学?31.分析基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.常微分方程主要内容多元微积分4应用广泛、威力强大感受微积分是人类智慧最伟大的成就之一是关于运动和变化的数学是科学而优美的语言5…………修完本课程，你将能解释雨后彩虹的形成计算水坝承受的压力推算火箭逃逸的速度6二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是

2、做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚7关键：强化概念的理解！方法：“数值化”“代数化”“几何化”具体准确形象8习题册：《大学数学标准化习题》（四川大学出版社）9§1.1映射与函数10分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁11元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为

3、集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).注:M为数集表示M中排除0的集;表示M中排除0与负数的集.12表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征例:整数集合或有理数集p与q互质实数集合x为有理数或无理数开区间闭区间13无限区间点的邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:14是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2.则称A若且则称A与B相等,例如,显然有下列关系

4、:,,若设有集合记作记作必有15定义3.并集交集且差集且给定两个集合A,B,定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或16二、映射1.映射的概念某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.17引例2.引例3.(点集)(点集)向y轴投影18定义4.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的

5、值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.19对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.引例2,3引例2引例220例1.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例2.如图所示,则有(满射)21X(数集或点集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)f称为X上的泛函X(≠)Xf称为X上的变换Rf称为定义在X上的为函数映射又称为算子.名称.例如,222.逆映射与复合映

6、射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f的逆映射.23(2)复合映射手电筒D引例.复合映射24定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或注意:构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.25定义域三、函数1.函数的概念定义4.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:自变量因变量26例如,反正弦主值定义域值域又如,绝对值函数定义域值域27例4.已知函数求及解:函数无定义并写出

7、定义域及值域.定义域值域282.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:还可定义有上界、有下界、无界(见上册P11)(2)单调性为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.29(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦记30又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记31(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指

8、最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数323.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:332)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数3