《多元函数的微分》PPT课件

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1、第三节全微分及其应用一、全微分的定义二、可微条件三、小结习题课一、全微分定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得(1)全增量的概念如果函数在点的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称函数在这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量的全增量，记为，即(2)全微分的定义例如,,在平面上任取一点当取得增量时,函数值的增量为取所以在平面上可微.（3）可微与连续之间的关系事实上反之成立吗？例如，在(0,0)处连续。但是无法表示成的形式。所以函数在(0,0)处不可微。二、可微的条件证总成立,同理可得一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．例如，则当时

2、，说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，定理２（充分条件)如果函数的偏导数、在点连续，则该函数在点处可微分．习惯上，记全微分为定理３　函数　　在点　　　可微的充分必要条件是函数　　在点　　　的改变量可表示为其中　和　是　和　的函数，且满足全微分的定义可推广到三元及三元以上函数解所求全微分解因为例2(980305)求函数的全微分.同理所以例3证明函数在点(0,0)的邻域内都存在，但在点(0,0)处不连续；(1)在(0,0)点连续；(2)(3)在(0,0)点可微.证(1)令则(2)同理所以(3)不存在.例4设函数在(0,0)的某个邻域内连续,还需要满足什么条件存在?在(

3、0,0)处可微?解因为处连续,所以要使存在，则应有此时，也存在。即当时偏导数存在。要使在(0,0)处可微，应有成立，即成立。因为而在(0,0)点的某个邻域内连续，根据可微与可导的关系知，，从而所以当时，函数可微。多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导全微分在近似计算中的应用也可写成解由公式得１．多元函数全微分的概念；２．多元函数全微分的求法；３．多元函数连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）三、小结思考题练习题练习题答案