《电动力学》PPT课件

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1、§2.3拉普拉斯方程，分离变量法Laplace'sequation,methodofseparatevariation本节内容主要是研讨Poisson方程的求解解析方法。电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导体的表面上。因此，在没有电荷分布的区域V里,Poisson'sequation就转化为Laplace'sequation，即产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来：①给定②给定或导体总电量所以，讨论的问题归结为：①怎样求解（通解）Laplace'sequat

2、ion.②怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。Laplace'sequation可以用分离变量法求通解，其求解条件是：①方程是齐次的。②边界应该是简单的几何面。（能用分离变量法条件：求区无电荷，边界规则）一、分离变量法求Laplace'sequation的通解（1）在直角坐标系中设在数学物理方法中，该方程的通解的（A、B、C为待定系数）或者写成（2）在柱坐标系中设该方程的通解为其中，Jm为m阶第一类贝塞尔函数，Nm为m阶第二类贝塞尔函数。如果考虑与z轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是，故通解为这里

3、A，B，C，D为待定系数。（3）在球坐标系中设其通解为这里为缔合勒让德（Legendre)函数对于具有轴对称的问题，m=0(取此轴为极轴）且这里为勒让德函数，、为待定系数对于球对称的问题，m=0,n=0。且2、利用边界条件定解说明两点：第一，如果考虑问题中有i个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplace'sequation.第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：边界条件：及导体的总电荷3、举例说明定特解的方法[例1]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径

4、为R1的导体球（R1

5、（3）式得从而得到由（4）式得由（5）式得即将（13）式代入（12）式，即得令因此得到：将A、B、C、D系数代入到（6）、（7）式，即得电势的解：导体球上的感应电荷为[例2]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场中，球外为真空。求电势分布。Solution:第一步：根据题意，找出定解条件由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域—球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势满足Laplace‘sequation。以代表球外区域的电势，代表球内区域的电势

6、，故zR附:均匀电场的电势解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。因为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势机动目录上页下页返回结束xyzPRzR第二步：根据定解条件确定通解和待定常数由于问题具有轴对称性，即与无关，故由（2）式得比较两边系数，得由（6）式得从中可见故有：再由（3）、（4）式或者（7）、（8）式得到：比较的系数，得由（15）、（16）式给出：由（13）、（14）式给出由此得到电势为▲相应地，球内、外的电场强度为其中第二项和第三项之和实际上是一个

7、等效的放在原点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为因此，球外区域的电场为：而同理得到由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场为弱，这是极化电荷造成的。▲在球内总电场作用下，介质球的极化强度的▲介质球的总电偶极矩为例3.两无限大平行导体板，相距为，两板间电势差为V(与无关)，一板接地，求两板间的电势和。xyOVZ解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系下板，设为参考点（2）定性分析：因在（常数），可考虑与无关。机动目录上页下页返回结束(4)定常数：(5)电场为均匀场常数电势：(

8、3)列出方程并给出解：方程的解：机动目录上页下页返回结束